高等代数理论基础49：对角矩阵

对角矩阵

定理：设 $\mathscr{A}$ 是n维线性空间V的一个线性变换, $\mathscr{A}$ 的矩阵可在某一组基下为对角矩阵的充要条件为, $\mathscr{A}$ 有n个线性无关的特征向量

证明：

$设\mathscr{A}在基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n下具有对角矩阵$

$\begin{pmatrix}\lambda_1\\ &\lambda_2\\ & &\ddots\\ & & &\lambda_n\end{pmatrix}$

$即\mathscr{A}\varepsilon_i=\lambda_i\varepsilon_i,i=1,2,\cdots,n$

$\therefore \varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n即\mathscr{A}的n个线性无关的特征向量$

$反之,若\mathscr{A}有n个线性无关的特征向量\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$

$则取\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n为基$

$显然,在该组基下\mathscr{A}的矩阵是对角矩阵\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：属于不同特征值的特征向量线性无关

证明：

$对特征值个数作数学归纳法$

$\because 特征向量不为零$

$\therefore 单个的特征向量必线性无关$

$设属于k个不同特征值的特征向量线性无关$

$下证属于k+1个不同特征值\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_{k+1}的特征向量\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{k+1}也线性无关$

$假设有关系式a_1\xi_1+a_2\xi_2+\cdots+a_k\xi_k+a_{k+1}\xi_{k+1}=0成立$

$等式两端乘\lambda_{k+1}得a_1\lambda_{k+1}\xi_1+a_2\lambda_{k+1}\xi_2+\cdots+a_k\lambda_{k+1}\xi_k+a_{k+1}\lambda_{k+1}\xi_{k+1}=0$

$关系式两端同时施行变换\mathscr{A}得$

$a_1\lambda_1\xi_1+a_2\lambda_2\xi_2+\cdots+a_k(\lambda_k-\lambda_{k+1})\xi_k=0$

$\therefore a_1(\lambda_1-\lambda_{k+1})\xi_1+\cdots+a_k(\lambda_k-\lambda_{k+1})\xi_k=0$

$由归纳假设,\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_k线性无关$

$\therefore a_i(\lambda_i-\lambda_{k+1})=0,i=1,2,\cdots,k$

$但\lambda_i-\lambda_{k+1}\neq 0(i\le k)$

$\therefore a_i=0,i=1,2,\cdots,k$

$\therefore a_{k+1}\xi_{k+1}=0$

$又\xi_{k+1}\neq 0$

$\therefore a_{k+1}=0$

$即\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{k+1}线性无关\qquad\mathcal{Q.E.D}$

推论：若在n维线性空间V中,线性变换 $\mathscr{A}$ 的特征多项式在数域P中有n个不同的根,即 $\mathscr{A}$ 有n个不同的特征值,则 $\mathscr{A}$ 在某组基下的矩阵是对角形的

推论：复数域上的线性空间中,若线性变换 $\mathscr{A}$ 的特征多项式没有重根,则 $\mathscr{A}$ 在某组基下的矩阵是对角形的

定理：若 $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$ 是线性变换 $\mathscr{A}$ 的不同的特征值, $a_{i1},\cdots,a_{ir_i}$ 是属于特征值 $\lambda_i$ 的线性无关的特征向量, $i=1,\cdots,k$ ,则向量组 $\alpha_{11},\cdots,\alpha_{1r_1},\cdots,\alpha_{k1},\cdots,\alpha_{kr_k}$ 也线性无关

注：定理说明,对一个线性变换,求出属于每个特征值的线性无关的特征向量,将它们合在一起还是线性无关的

若它们的个数等于空间的维数,则这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵

若它们的个数小于空间的维数,则这个线性变换在任一组基下的矩阵都不能是对角形

设 $\mathscr{A}$ 全部不同的特征值为 $\lambda_1,\cdots,\lambda_r$ ,则 $\mathscr{A}$ 在某一组基下的矩阵成对角形的充要条件为 $\mathscr{A}$ 的特征子空间 $V_{\lambda_1},\cdots,V_{\lambda_r}$ 的维数之和等于空间的维数

线性变换 $\mathscr{A}$ 在一组基下的矩阵A是对角形时,即 $A=\begin{pmatrix}\lambda_1\\ &\lambda_2\\ & &\ddots\\ & & &\lambda_n\end{pmatrix}$ , $\mathscr{A}$ 的特征多项式为 $|\lambda E-A|=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)$

故若线性变换 $\mathscr{A}$ 在一组基下的矩阵是对角形,则主对角线上的元素除排列次序外是确定的,它们正是A的特征多项式全部的根,重根按重数计算

例：线性变换 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 下的矩阵是 $A=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}$

特征值为-1(二重),5,对应的特征向量是

$\xi_1=\varepsilon_1-\varepsilon_3$

$\xi_2=\varepsilon_2-\varepsilon_3$

$\xi_3=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$

故 $\mathscr{A}$ 在基 $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ 下的矩阵为对角矩阵

$B=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&5\end{pmatrix}$

由 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 到 $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ 的过渡矩阵为

$X=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\-1&-1&1\end{pmatrix}$

故 $X^{-1}AX=B$

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