机器学习01-线性回归

概率问题有两大学派，一个是频率派，另一个是贝叶斯派。

频率派的是统计机器学习方法，本质是优化问题，流程可以简化为1.设计模型 2.定义loss function 3.使用算法求解优化问题（例如梯度下降法）。

而贝叶斯学派的机器学习，本质是积分问题（可用Monte Carlo Method求解），概率图模型。

线性回归

首先来讲频率派统计机器学习方法的基础，线性回归。

假设数据集 $D = \{{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)}\}$ , $x_i$ 是列向量，维度为p，定义 $X = (x_1 x_2 ... x_n)^T$

首先从大家耳熟能详的最小二乘法出发，定义损失函数MSE $L(w) = \sum_{i=1}^n||w^Tx_i-y_i||^2 = (w^TX^T-Y^T)(Xw-Y) = w^TX^TXw - 2w^TX^TY+Y^TY$

求解 $\hat w = argminL(w)$

$\frac{\partial L(w)}{\partial w} = 2X^TXw-2X^TY = 0$

$w = (X^TX)^{-1}X^TY$

这里可能会有求逆不存在的问题，这个我们稍后再讨论。另外可以用梯度下降法求解这个最优化问题，这边先不涉及。

现在我们换一个角度看问题，从概率的角度看，假设 $\varepsilon \sim N(0,\sigma^2)$ , $y = f(w) + \epsilon$

所以 $y|x;w \sim N(w^Tx,\sigma^2)$

极大似然估计MLE： $L(w) = logP(Y|X;w) = log\prod_{i=1}^n P(y_i|x_i;w)=\sum_{i=1}^nlog P(y_i|x_i;w)$

$= \sum_{i=1}^n(log\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} + logexp(-\frac{(y_i -w^Tx_i)^2}{2\sigma ^2}) ) = \sum_{i=1}^n(log\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} - \frac{1}{2\sigma^2}(y_i - w^Tx_i)^2)$

第一项是定值，所以 $\hat w = argmaxL(w) = argmax\sum_{i=1}^n -\frac{1}{2\sigma^2}(y_i - w^Tx_i)^2 = argmin\sum_{i=1}^n(y_i - w^Tx_i)^2$

可以发现最小二乘法等价于噪音为高斯分布的极大似然估计。

实际使用时候，如果样本容量没有远远大于样本的特征维度，很可能造成过拟合，另外我们之前留了个坑，就是求逆不一定存在。

针对过拟合，有几种选择的方式，

（1）增加数据，数据量越多肯定可以学到更好的模型，但有时候这个并不容易实现

（2）降维，把特征维度降下来，例如特征选择或者特征提取，这一部分内容以后再涉及

（3）加入正则化。这是我们目前主要要讨论的内容

正则化，就是给模型的参数加入惩罚，一定程度可以起到降低模型复杂度的作用。这个时候，损失函数变成了 $L(w) + \lambda * penalty(w)$

正则化常用的是

L1： $J(w) = L(w) + \lambda ||w||$

L2： $J(w) = L(w) + \lambda ||w||^2$

我们拿L2为例，损失函数可以写成 $J(w) = L(w) + \lambda w^Tw = w^TX^TXw - 2w^TX^TY+Y^TY + \lambda w^Tw$

$= w^T(X^TX +\lambda I)w - 2w^TX^TY +Y^TY$

$\hat w = argminJ(w)$

$\frac{\partial J(w)}{\partial w} = 2(X^TX + \lambda I)w - 2X^TY = 0$

$w = (X^TX + \lambda I)^{-1}X^TY$

由于 $X^TX$ 是一个半正定矩阵， $\lambda I$ 是对角矩阵，可以发现括号内的矩阵一定可逆了。

同理，我们从概率的角度来看这个问题，同样假设 $\varepsilon \sim N(0,\sigma^2)$ ， $y|x;w \sim N(w^Tx,\sigma^2)$

这时候，我们再给w一个先验， $w \sim N(0,\sigma_0^2)$

所以 $p(y|w) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(\frac{-(y-w^Tx)^2}{2\sigma^2})$ , $p(w) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_0}exp(\frac{-||w||^2}{2\sigma_0^2})$

由贝叶斯公式，可以推出 $p(w|y) = \frac{p(y|w)p(w)}{p(y)}$

现在我们的目标是最大后验概率MAP， $\hat w = argmaxlog[p(y|w)p(w)] = argmax(\sum_{i=1}^n-\frac{(y_i-w^Tx_i)^2}{2\sigma^2} - \frac{||w||^2}{2\sigma_0^2})$

$= argmin(\sum_{i=1}^n\frac{(y_i-w^Tx_i)^2}{2\sigma^2} +\frac{||w||^2}{2\sigma_0^2}) = argmin(\sum_{i=1}^n(y_i-w^Tx_i)^2 +\frac{\sigma^2}{\sigma_0^2}||w||^2)$

可以发现第一项就是 loss function, 第二项 $\frac{\sigma^2}{\sigma_0^2}$ 就是 $\lambda$ , 也就是正则化系数。

所以我们又可以得出结论，加入正则化的最小二乘法，等价于噪音为高斯，先验概率也是高斯的最大后验估计。

最后做一个总结，

最小二乘法等价于噪音为高斯分布的极大似然估计。

加入正则化的最小二乘法，等价于噪音为高斯，先验概率也是高斯的最大后验估计。

下一节开始，会开始涉及分类问题，会发现最基本的线性回归模型其实是很多模型的基础。

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