上一篇文章中，我们提到了哥尼斯堡七桥问题：能否一次走遍 7 座桥，并且不重复，最后仍回到起始地点。如下图：
最后欧拉把问题抽象思考，画出图1.1（b）。
为什么不能一次走完呢？
因为每个点有进去的边就必须有出来的边，从而连接每个点的边数必须为偶数，因此不可能一次走完。
一、四色猜想（4CC）
任何地图，用四种颜色就可以把每国的领土染上一种颜色，使得邻国异色。
起源：1852 年，毕业于伦敦大学的格思里(Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。 然后他的老师德.摩尔根(De Morgan)请教，德·摩根是当时十分有名的数学家，他也没有能找到解决这个问题的途径，并且不能判断这个猜想是否成立。于是写信向自己的好友哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865 年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。1872 年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是4CC成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了4CC的大会战。1879年伦敦数学会会员Kemple声,称证明4CC成立,且发表了论文,10年后, Heawood指出了Kemple证明中存在不可克服的漏洞, Heawood沿用Kemple的方法证明了五色定理,即任何地图,用五种颜色一定能把各国领土染上一种颜色,且使邻国异色. Kemple的方法十分巧妙,1976年,Appel说:"Kemple的证明中包含着一个世纪之后终于引出正确证明的绝大部分基本思想.”
1976 年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的计算机上，用了 1200 个小时，作了 100 亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时 100 多年的难题，而且很有可能成为数学史新的转折点。不过，也有不少数学家并不满足于计算机取得的成果，他们还在孜孜不倦地寻找简捷明快的书面证明方法。
二、哥德巴赫猜想
(a)任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b)任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
1742 年，哥德巴赫发现，每个不小于 6 的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如 6＝3＋3，12＝5＋7 等等。后来哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，不久欧拉给他回了信件，他相信这个猜想是正确的，但他不能给出书面的证明。提法和叙述十分简朴的问题，连欧拉这样都证明不了，这个猜想很快在数学界流传开来。
至此，这道数学难题引起了世界上数以万计数学家的跃跃欲试。200 年过去了，还是没有人能给出完整的证明。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗璀璨的“明珠”。1920 年、挪威数学家布爵尝试采用一种古老的筛选法证明，得出了每一个比大的偶数都可以表示为（99）的结论。这种不断缩小包围圈的卓有成效，于是数学家们采用这样的思想，不断改进，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止。
到现在为止，最好的证明方法由中国数学家陈景润在1966 得出，被誉为陈氏定理(Chen‘s Theorem) “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。
