《统计学习方法》 python实现 chapter3 k近邻算法

我是一个很喜欢讲故事的，我由于自己一直不好好学这方面，所以一直在入门阶段。而真正的开始入门是从k近邻开始的，入门的方法是看视频学习。在这里感谢深度眸（黄海安）的启迪。在这里给大家附上他的《机器学习实战》的链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/31310720

k近邻法写一下英文名字：k-nearest neighbor,k-NN。写出来的原因是因为怕误解成 neural network,这并不是一个神经网络。同时knn包含了回归和分类两种，之前在网上找资源的时候找到的大部分都是关于分类的例子，我争取多找几个回归的例子。如果觉得我写的不行，那直接去看我推荐的视频

knn的三个基本要素：k值的选择，距离度量以及分类决策规则
knn算法简单直观: 给定一个训练数据集，对新的输入实例，在训练数据集中找到与该实例最邻近的k葛实例，这k个实例的多数属于某个类，就把该输入实例分类为这个类。
算法

knn

（距离度量）特征空间中两个实例点的距离是两个实例点相似程度的反应。使用的距离是欧氏距离，但也可以是其他距离。
设特征空间 $\chi$ 是n维实数向量空间 $R^n$ , $x_i,x_j\in\chi$ , $x_i = (x_i^{(1)},x_i^{(2)},···,x_i^{(n)})^T$ , $x_j = (x_j^{(1)},x_j^{(2)},···,x_j^{(n)})^T$ , $x_i,x_j$ 的 $L_p$ 的距离定义为
$L_p(x_i,x_j)=(\sum_{l=1}^n|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}|)^{1\over p}$
这里 $p\ge1$
当 p = 2时，称为欧氏距离，也就是差值的平方和开根号，
当 p = 1时，称为曼哈顿距离，也就是差值的绝对值之和，
当 $p=\infty$ 时，是各个坐标距离最大的值

(k值的选择)
如果选择较小的k值，就相当于用较小的邻域中的训练实例进行预测，可以使近似误差减小。但是k值减小会导致整体模型变得复杂，容易发生过拟合。
如果选择较大的k值，有点事减小估计误差，缺点是近似误差会增大。导致整个模型的复杂度减小。
在应用中k值一般选取一个比较小的数值，通常采用交叉验证法来选取最优的k值

(分类决策规则)
多数表决规则由如下解释：如果分类的损失函数为0-1损失函数，分类函数为 $f:R^n\to\{c_1,c_2,···,c_K\}$
那么误分类的概率为 $P(Y \ne f(X)) = 1 - P(Y = f(X))$
如果涵盖 $N_k^{(x)}$ 的区域的类别为 $c_j$ ,那么误分类率是 ${1 \over k } \sum_{x_i \in N_k(x)}I( y_i \ne c_j) = 1 - {1 \over k} \sum_{x_i \in N_k(x)}I( y_i = c_j)$ 要使误分类率最小也就是经验风险最小，就要是 $\sum_{x_i \in N_k(x)}I( y_i = c_j)$ 最大，所以多数表决规则等价于经验风险最小化。

k近邻的实现：kd树

k近邻法最简单的实现方法是线扫描。这时言计算输入实例域每个训练实例的距离。当训练集很大的时候，计算非常耗时，这种方法是不可行的。
算法:构造平衡kd树

平衡kd树

书上这一段不是很好理解的，可以看树上的例子。

code

import math

# 定义距离函数
def L(x, y, p=2):
    if len(x) == len(y) and len(x) > 1:
        sum = 0
        for i in range(len(x)):
            sum += math.pow(abs(x[i] - y[i]), p)
        return math.pow(sum, 1/p)
    else:
        return 0

# 书本例子3.1
# 输入实例
x1 = [1, 1]
x2 = [5, 1]
x3 = [4, 4]

# 计算不同距离下的最近邻数据
for i in range(1,5): #p=1, 2, 3, 4
    r = {'1- {}'.format(c):L(x1, c, p =i) for c in [x2, x3] }
    print(min(zip(r.values(),r.keys())))

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split

from collections import  Counter

from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier

# 数据加载
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']

# print(df)

# 散点图绘制
plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
plt.show()

# 数据集划分
data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]
# print(X)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)

class KNN:
    def __init__(self, X_train, y_train, n_neighbors=3, p=2):
        """
        :param X_train:
        :param y_train:
        :param n_neighbors:  k =3
        :param p: p=2 采用欧氏距离
        """
        self.n = n_neighbors
        self.p = p
        self.X_train = X_train
        self.y_train = y_train

    def predict(self, X):
        # 取出n个点
        knn_list = []
        for i in range(self.n):
            dist = np.linalg.norm(X-self.X_train[i], ord= self.p)# 二范数，相当于求欧氏距离
            knn_list.append((dist, self.y_train[i]))
            # print(knn_list)

        for i in range(self.n, len(self.X_train)):
            max_index = knn_list.index(max(knn_list, key= lambda x: x[0]))
            dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord = self.p)
            if knn_list[max_index][0] > dist :
                knn_list[max_index] = (dist, self.y_train[i])

        # 统计
        knn = [k[-1] for k in knn_list]
        count_pairs = Counter(knn)
        max_count = sorted(count_pairs, key=lambda x:x)[-1]
        return max_count

    def score(self, X_test, y_test):
        right_count = 0
        n = 10
        for X,y in zip(X_test, y_test):
            label = self.predict(X)
            if label == y:
                right_count += 1
        return right_count/len(X_test)




if __name__ == '__main__':
    clf = KNN(X_train,y_train)
    clf.score(X_test, y_test)
    test_point = [6.0, 3.0]
    print('Test Point: {}'.format(clf.predict(test_point)))
    plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
    plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
    plt.plot(test_point[0], test_point[1], 'bo', label='test_point')
    plt.xlabel('sepal length')
    plt.ylabel('sepal width')
    plt.legend()
    plt.show()

    # 使用sklearn
    clf_sk = KNeighborsClassifier()
    '''
    parameter for choose:
    n_neighbors: 临近点个数
    p: 距离度量
    algorithm: 近邻算法，可选{'auto', 'ball_tree', 'kd_tree', 'brute'}
    weights: 确定近邻的权重
    '''
    clf_sk.fit(X_train,y_train)
    clf_sk.score(X_test,y_test)

明天更新kd树