上一文，刚学习了平衡二叉树的结构和运用:
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今天打算接着学习一种树叫平衡二叉树。结合二叉排序树，我们可以看一下二叉排序树存在的一些问题:
看一个案例(说明二叉排序树可能的问题)
给你一个数列{1,2,3,4,5,6}，要求创建一颗二叉排序树(BST), 并分析问题所在.
如图:
左边BST 存在的问题分析:
左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表.
插入速度没有影响
查询速度明显降低(因为需要依次比较), 不能发挥BST�的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比�单链表还慢
解决方案-平衡二叉树(AVL)
定义
平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为AVL树， 可以保证查询效率较高。
其次，这是树满足二叉排序树的内容，中序遍历是有序的。
具有以下特点：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。
举例说明, 看看下面哪些AVL树, 为什么?
关于左旋转与右旋转
单旋转-左旋转
要求: 给你一个数列，创建出对应的平衡二叉树.数列 {4,3,6,5,7,8}
此时树的结构如图:
我们需要将这棵树进行左旋转，使任意两个叶子节点的高度差绝对值不超过1.具体思路如下:
具体代码实现:
//左旋转方法
private void leftRotate() {
//创建新的结点，以当前根结点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
newNode.left = left;
//把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树
newNode.right = right.left;
//把当前结点的值替换成右子结点的值
value = right.value;
//把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树
right = right.right;
//把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点
left = newNode;
}
单旋转-右旋转
要求: 给你一个数列，创建出对应的平衡二叉树.数列 {10,12, 8, 9, 7, 6}
同样，此时树的结构如图:
我们需要将这棵树进行右旋转，使任意两个叶子节点的高度差绝对值不超过1.具体思路如下:
//右旋转
private void rightRotate() {
Node newNode = new Node(value);
newNode.right = right;
newNode.left = left.right;
value = left.value;
left = left.left;
right = newNode;
}
双旋转
当对一棵平衡二叉树进行插入时，此时，每插入一个新的树，如果不满足平衡二叉树进行判断，此时需要进行左旋转或者右旋转，但是在以上两个例子的条件下，进行左旋转和右旋转之后，并不能保证达到平衡，此时就需要进行双旋转。
前面的两个数列，进行单旋转(即一次旋转)就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树,但是在某些情况下，单旋转不能完成平衡二叉树的转换。比如数列
int[] arr = { 10, 11, 7, 6, 8, 9 }; 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL树.
int[] arr = {2,1,6,5,7,3}; // 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL树。
这个结论可以看下面的代码，去做测试。
具体的思路:
当节点的左子树的节点大于右子树，此时需要进行右旋转。但是右旋转之后还是没有达到平衡，此时需要:
对这个节点的左节点进行左旋转，然后再对当前节点进行右旋转就可以了。
当节点的左子树的节点小于于右子树，此时需要进行左旋转。但是左旋转之后还是没有达到平衡，此时需要:
对这个节点的右节点进行右旋转，然后再对当前节点进行左旋转就可以了。
举完整的代码例子:
public class AVLTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
//int[] arr = {4,3,6,5,7,8};
//int[] arr = { 10, 12, 8, 9, 7, 6 };
int[] arr = { 10, 11, 7, 6, 8, 9 };
//创建一个 AVLTree对象
AVLTree avlTree = new AVLTree();
//添加结点
for(int i=0; i < arr.length; i++) {
avlTree.add(new Node(arr[i]));
}
//遍历
System.out.println("中序遍历");
avlTree.infixOrder();
System.out.println("在平衡处理~~");
System.out.println("树的高度=" + avlTree.getRoot().height()); //3
System.out.println("树的左子树高度=" + avlTree.getRoot().leftHeight()); // 2
System.out.println("树的右子树高度=" + avlTree.getRoot().rightHeight()); // 2
System.out.println("当前的根结点=" + avlTree.getRoot());//8
}
}
// 创建AVLTree
class AVLTree {
private Node root;
public Node getRoot() {
return root;
}
// 添加结点的方法
public void add(Node node) {
if (root == null) {
root = node;// 如果root为空则直接让root指向node
} else {
root.add(node);
}
}
// 中序遍历
public void infixOrder() {
if (root != null) {
root.infixOrder();
} else {
System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历");
}
}
}
// 创建Node结点
class Node {
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value) {
this.value = value;
}
// 返回左子树的高度
public int leftHeight() {
if (left == null) {
return 0;
}
return left.height();
}
// 返回右子树的高度
public int rightHeight() {
if (right == null) {
return 0;
}
return right.height();
}
// 返回 以该结点为根结点的树的高度
public int height() {
return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;
}
//左旋转方法
private void leftRotate() {
//创建新的结点，以当前根结点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
newNode.left = left;
//把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树
newNode.right = right.left;
//把当前结点的值替换成右子结点的值
value = right.value;
//把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树
right = right.right;
//把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点
left = newNode;
}
//右旋转
private void rightRotate() {
Node newNode = new Node(value);
newNode.right = right;
newNode.left = left.right;
value = left.value;
left = left.left;
right = newNode;
}
@Override
public String toString() {
return "Node [value=" + value + "]";
}
// 添加结点的方法
// 递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求
public void add(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
// 判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系
if (node.value < this.value) {
// 如果当前结点左子结点为null
if (this.left == null) {
this.left = node;
} else {
// 递归的向左子树添加
this.left.add(node);
}
} else { // 添加的结点的值大于 当前结点的值
if (this.right == null) {
this.right = node;
} else {
// 递归的向右子树添加
this.right.add(node);
}
}
//左旋转
if((rightHeight() - leftHeight()) > 1){
leftRotate();
}
//右旋转
if((leftHeight() - rightHeight() > 1)){
rightRotate();
}
}
// 中序遍历
public void infixOrder() {
if (this.left != null) {
this.left.infixOrder();
}
System.out.println(this);
if (this.right != null) {
this.right.infixOrder();
}
}
}
主要理解清楚，在add方法中，最后一部，当添加一个新的节点后，符合左旋转时，以int[] arr = {2,1,6,5,7,3}; 为例，需要进行右旋转，但是右旋转之后，运行发现并没有达到平衡:
测试结果:
，以int[] arr = { 10, 12, 8, 9, 7, 6 }; 为例，需要进行左旋转，但之后，并没有产生平衡:
此时，我们需要把按照双旋转的思路把add方法改造成如下:
public void add(Node node) {
if(node == null) {
return;
}
//判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系
if(node.value < this.value) {
//如果当前结点左子结点为null
if(this.left == null) {
this.left = node;
} else {
//递归的向左子树添加
this.left.add(node);
}
} else { //添加的结点的值大于 当前结点的值
if(this.right == null) {
this.right = node;
} else {
//递归的向右子树添加
this.right.add(node);
}
}
if((rightHeight() - leftHeight()) > 1){
if(right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()){
right.rightRotate();
leftRotate();
} else {
leftRotate();
}
return ;
}
if((leftHeight() - rightHeight() > 1)){
if(left!=null && left.rightHeight() > left.leftHeight()){
left.leftRotate();
rightRotate();
} else {
rightRotate();
}
return ;
}
}
再次运行以上两个结果:
都达到平衡。
删除
与二叉排序树一样。
查询
在二叉排序树删除中有。
可以看上面二叉排序树的链接。
总结
平衡二叉树能够解决查询时，左子树远大于右子树时，BST的问题。弥补二叉排序树的缺陷。
