(写于2019-09-06 星期五)
上周做苏宁笔试，做到了一道排列组合题，难度是高中难度，但由于好久没有刷这种题目了有点手生而没有来得及做出来，感到非常遗憾。因此就把这道题拎出来，全方位各角度来扒一扒，就当练手了。
题目大概是：
有8只球队,采用抽签的方式随机配对,组成4场比赛。假设其中有4支强队，那么出现强强对话 (任意两只强队相遇)的概率是？
A.B.
C.
D.
E.
F.
先从比较中规中矩的思路讲起，后面会有更简单的解法。
思路1——排列/排列
这个思路比较中规中矩，因为有4个强队和4个弱队，而强强对话的情况可以分为有2组强强对话和只有1组强强对话，所以问题可以化简为没有。
因此如果用上下排列的方式来解的话，
分子有点复杂，稍微解释一下，如果把对决情况想象成8个盒子，而8个队伍为(大写强队，小写弱队)，那么任务就是往这8个盒子里填写字母。没有出现强强对话的情况就是首先从强队里挑选一队（可以有4种选法），再从弱队里挑选一队（同样有4种选法），然后也可以先选弱再选强，所以就是
。强弱队各选掉了1个，那么再往后挑就只有3种挑法了，因此就是
，以此类推一直到选光为止。至于这里各个情况之间为什么是相乘而不是相加，因为这里它们之间的关系不是分类而是步骤，具体可以参考排列组合深度分析 ——乘法原理与加法原理，这里不再赘述。
思路2——组合/组合
这个和思路1其实是一样的，只不过把排列变成了组合。我们有：
看上去比上面简单了一些，不过需要一些解释：
：首先从8个队伍中，任取2个组成一组，这就有
种取法，然后从剩下的6队中再取2队组成一组，就是
，以此类推。
为什么分母要除以：由于我们是对于每组取法按步骤相乘的，因此必然会出现一个天然的4元素排列，比如
和
其实是同一种情况，这样相同的情况共有
个，为了去掉这些相同情况，就得除以
也就是
。
分子的解释：明明是组合，但却不是
而是
，为什么？两种解释方法。第一种，如果把ABCD四支队伍先选出，那么强弱对决就只需给他们选择相应的弱队就可以了，A_ B_ C_ D_ 中填入 e, f, g, h 四个字母，自然就是 4 × 3 × 2 × 1 也就是
种情况了。注意这里既不需要把这四组对决交换位置，也不需要在对决内进行两两交换，因为这里是组合。第二种解释方法，分子其实可以写成
，正好就是第一种的相反情况，分子同时算上了四组对决的位置排列
，以及对决内的两两排列
，因此在分母中除掉即可。
思路3——简单的概率步骤相乘（最简单的方法）
前面码了好多字，终于写到这儿了……肖邦曾经说过，“简单才是终极成就”。先放答案：
还是一样的填格子，往 _ _, _ _, _ _, _ _, 里填八个字母。我们的目的是找到
，按照这个思路，第一个队伍填什么是无所谓的，所以是
也就是
，假设第一个取到了
这个弱队，那么第二格就需要在
这四个强队里取一个，
已经被取，所以第二个取到强队的概率就是
。到第三格，已经取掉了一支强队和一支弱队，还有6支队伍，这一格我同样可以随便从强队或者弱队里取，只要保证和它对决的是相反队伍即可，所以就是
，而第四格就是
，以此类推就可以得到上面的结果。
思路4——条件联合概率的分解+贝叶斯公式
这个思路，可以让你用大学概率论的思路去解决问题，体会到理论的力量。
参考 联合概率、边缘概率、条件概率之间的关系&贝叶斯公式 的第6点，我们可以利用贝叶斯公式对联合概率作如下的分解：
看着很长，其实就是利用贝叶斯公式层层解套。来看一下最后一个等号后面的四个概率：
- 第一个就是前三组都是强弱对决的情况下，第四组是强弱对决的概率，很明显是
- 第二个是第一第二组是强弱对决的情况下（这时候强队有2支，弱队也有2支），第三组是强弱对决的概率，那么明显是任意取一支，再取另一支是相反队伍的概率，也就是
- 第三个是第一组是强弱对决的情况下（这时候强队3支，弱队3支），第二组取到强弱对决的概率，也就是
- 第四个就是刚开始时第一组取到强弱对决的概率（此时强4支，弱4支），很明显是
把这几个相乘起来，就可以得到最后的结果了。你会发现思路4和思路3其实是一模一样的，只不过在思路3中我们直接就这么顺着思考写下来了而已，而贝叶斯公式可以说是思考的归纳总结了，不得不说很妙。
当然，其实用贝叶斯公式也可以有别的分解方法，这样就会产生和思路3不一样的过程，这完全取决于怎么分解这个问题，就不细讲了。
后记
第一次在简书里面写数学公式，发现Tex真是太好用了！
参考资料
[1] 牛客网上的这道题以及大家的解答
[2] 联合概率、边缘概率、条件概率之间的关系&贝叶斯公式
[3] Latex 公式速查
