章节概览

我在想第四部分是不是应该开始讲线性代数了，但是还是决定讲一下和积分有关的内容。但是我们不会讲的太细致，只是讲个大概而已。本章的内容对我们来说暂时不是那么的重要，如果你看不懂这章的内容，它也不会影响到你阅读后面的内容。

1.一个莫名其妙的故事

我记得以前在初中的数学书上，看到过这样的一个故事，说是一个乞丐，有天乞讨到了一块面包。他总是舍不得吃，于是他这样想，我每天吃掉这块面包的1/2，不就永远有面包吃了吗？

WTF

1.1.一个粗糙的数学建模

虽然很莫名其妙，但是我们可以通过这个故事学到很多知识。知道了这件事，我们可以知道他在刚开始的时候有一块面包，第一天的时候因为他吃掉了一半，只有1/2了。第二天又吃了一半的一半，即1/4。所以，非常显而易见的一个函数，可以描述第x天，他吃了多少面包。

过了几天，乞丐死了。只不过他不是因为没有面包吃饿死的。而是他每天都在吃面包，一直数着自己到底吃了多少面包了，最后数不过来，笨死了。

1.2.到底吃了多少面包呢？

按照乞丐的分法，并且不考虑任何实际情况，我们知道，乞丐确实拥有无限的面包。但是他已经死了，于是想要知道他究竟吃了多少面包，我们必须知道他从持有这块面包，到他死亡一共经历了多少天。emmmm，于是我们打出一张魔法卡，万能的假设。
我们假设乞丐只生存了5天，求他5天内一共吃掉的面包的数量。我们可以计算他每天吃掉的面包的数量，然后加起来。这是一个很正确的方法，只不过有点蠢。

如果你手动尝试了去完成这个步骤，那么恭喜你，你成功的求了一次积分结果。
也许你可能不信，不过，从这个问题拓展到积分，我们还有一小段路要走，相信我，真的只是一小段路。

2.一定要优雅的求出面积

如果这个乞丐是一个先知，他预先知道了自己将会在第6天死亡，但是他还有1/32的面包没有吃完，毕竟这个世界上最痛苦的事情就是人死了，钱没有花完，本着不留遗憾的原则，他将会在5天内平均的消耗完这个面包，即一天要吃掉1/5的面包，并且我们仍然假设在这五天内，他无时无刻都在消耗这些面包，只不过24个小时只啃掉了1/5而已。于是我们有了下面的这张图。

y=0.2

我们可以先写出用于描述这个问题的函数

这个函数表示的是他吃面包的速度，说明了不论什么时候他都在稳定的消耗所有的面包，并且速度非常的稳定。正如一个死者的心电图那样。
反正我们已经知道了他5天消耗完了这一整块面包，我们有两个感兴趣的事情，第一就是，在我们恶劣的假设中，他是完全平均的消耗完这块面包的，说明他无时无刻都在吃这块面包。那么我们就希望知道在极短极短的时间内，他究竟吃了多少面包？这事很重要，真的。

2.1.微分

其实我们是办不到的，因为时间刻度可以无限的缩短。他吃的面包的数量也会因为时间的缩短而无限分割，我们唯一知道的就是，不管在什么时候，他吃面包的速度始终是0.2。于是我们就分割时间就行了，反正他不管多短的时间，吃面包的速度都是0.2嘛

我们用这个极限描述他在很短很短的时间吃掉的面包的量。0.2其实是我们的函数，为了避免混淆，我们还是把这个0.2替换成

回头观察这个极限，它描述的是吃面包的量，而非时间，而非速度，但是我们的时间x却是趋向于0的。频繁的写出极限的符号其实非常麻烦，于是，当我们需要表示一个趋向于0的量的时候，希望简化它。所以微分就出现了，它表示一个趋向于0的量。具体是什么量则由跟在后面的变量决定。比如此时我们是针对时间x微分，于是这个微分就是，上面的式子就成了下面这样

2.2.积分

尽管我们把他吃东西的时间严苛的分割成了无数个细小的时间区间，还用极限把他吃的面包数量表示出来了，但是我们总归知道这些细微的时间区间加起来一共有5天。这5天他始终在啃那块面包。那么我们可以尝试性的把它们加起来

这样写是不是太麻烦了，当然，不是只有我觉得麻烦，古人也觉得麻烦，于是一群希腊人就发明了一个求和的字符，有了这个字符，就可以比较轻松的表示这些繁复的求和了。

但是求和符号在这类求和问题仍然不够简洁，或者说这类问题的特征太明显了，它们都希望求出所有微分的总和，为了更加明确的表示这类问题，积分符号就出现了。，我们把求和的起点作为积分的下界，把求和的重点作为积分的上界，拥有上界和下界的积分，我们称为定积分。它是这样的

3.天才的遗作：牛顿-莱布尼茨公式

接下来我们要证明牛顿莱布尼茨公式，如果你已经知道积分是如何出现的，积分的含义，并且如何对一个函数进行积分，那么可以直接跳过本章节了。

证明牛顿莱布尼茨公式需要先知道两个定义。

这个很简单，通俗点来说，就是他第1天到第2天吃的东西，与第3天到第5天吃的东西加起来，相当于第1天吃的东西到第5天吃的东西的总和（蠢到没话说的最基本性质）

第二个定理就是著名的积分中值定理，此处我们就不证明了，因为积分中值定理就是介值定理的扩展，比较简单。我们直接写出结论。

如果函数在区间上连续，那么在区间上至少有一个点使得

好了，让我们开始证明吧。
第一，确定一件事，即积分的值具体是多少，与函数的表达式以及上下界有关，所以我们完全可以把积分 换成 ，这样方便我们构建其他的函数。
此时我们更换为或者会发现，这个积分的值也会随之而发生变化。于是我们可以把b设为一个未知量x，

当x变化时，这个积分的值肯定也在变化，因而我们可以把它当成一个函数，这个函数就是所谓的变上限积分函数。我们暂时用来表示它

为了发现和函数的关系，我们对它进行求导

由积分中值定理我们可以知道， 我们使用这个定理来处理分母上面的式子得到

注意这里的是与之间的一个值，所以当时， ，因而我们最终知道

3.1.最后一步

设为的一个原函数，我们有，又也是的一个原函数，所以

又，我们有，，所以

至此，牛顿莱布尼茨公式证毕。

小结

其实我们在学习深度学习的前期并不需要知道积分是什么，只不过为了让大家找点感觉，因而写出了这一章，如果你没有学过这一章的内容，可以略过不去管它。如果你学过了，但是忘记了，你可以跟着我的步骤一步一步的再操作一遍。如果你对上面的内容非常熟悉，你也可以跳过不看。