多项式归纳

总而言之，多项式中的题目基本上三板斧就能够解决：设出合适的形式、带余除法运用、利用根和互素性。

合适的形式

什么叫做合适的形式，以我目前的水平还无法用几句话来概括，只能列举几个例题来说明：
例1.设 $f(x)$ 是整系数多项式，且 $f(1)=f(2)=f(3)=p(p为素数)$ .则不存在整数 $m$ 使得 $f(m)=2p$
Tips:对于多项式的设法最关键的就是能够充分把题目信息包含进去，学了数值分析中，遇到这种问题总是会冒出插值的想法，然而插值并无法保证整系数这一点，所以设为 $f(x)=g(x)(x-1)(x-2)(x-3)+p$

例2.设 $m$ 为任一正整数，证明 $f^m(x)|g^m(x)$ 的充要条件为 $f(x)|g(x)$
Tips:令 $(f(x),g(x))=d(x)$ 设 $f(x)=d(x)f_1(x),g(x)=d(x)g_1(x),(f_1(x),g_1(x))=1$ 来进一步做，或设出 $g(x)$ 的标准分解式 $g(x)=ap_1^{r_1}(x)p_2^{r_2}(x)\ldots p_s^{r_s}(x)$

例3. $f(x)$ 为数域 $\mathbb{P}$ 上的不可约多项式
(1) $g(x)\in \mathbb{P}[x]$ 且与 $f(x)$ 有一公共复根 $\alpha$ ，则 $f(x)|g(x)$
(2)若 $c$ 及 $\frac{1}{c}$ 都是 $f(x)$ 的根， $b$ 是 $f(x)$ 的任一根，证明 $\frac{1}{b}$ 也是 $f(x)$ 的根
Tips:设 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$
$\phi(x)=a_n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^{n-1}+a_0$

例4.求所有满足条件： $f(0)=-4,f(1)=-2,f(-1)=-10,f(2)=2$ 的实系数多项式
Tips:设 $h(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ,满足条件的 $f(x)=g(x)x(x-1)(x+1)(x-2)+h(x)$

例5.设 $p$ 为素数，证明 $f(x)=px^4+2px^3-px+(3p-1)$ 在有理数域上不可约
Tips:大胆设，不要怕写出具体形式。

例6.证明：设 $n>4,a_1,\ldots,a_n$ 为互不相同的整数， $f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_n)+1$ 则 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。

例7.求一个 $2n-1$ 次多项式使得 $f(x)+1$ 能被 $(x-1)^n$ 整除，而 $f(x)-1$ 能被 $(x+1)^n$ 整除

例8.设 $F$ 是数域， $f(x),g(x)\in F(x)$ 且 $degf(x)=m>1,degg(x)=n>1$ ，利用 $f(x),g(x)$ 构造一个次数为 $mn-1$ 的可约多项式

带余除法的运用

遇到表达成什么形式的题目，一般要带余除法和互素性相结合来解题。
例9.设 $f_1(x),\ldots,f_m(x)$ 是两两互素的多项式， $a_1,\ldots,a_m$ 是数，证明：存在多项式 $g(x)$ 满足 $g(x)=f_i(x)q_i(x)+a_i,i=1,\ldots,m$
Tips:其中构造出的 $g(x)$ 具有高度的对称性，其构造过程值得好好品味， $U_i(x)f_i(x)+V_i(x)\prod\limits_{k\not=i}f_k(x)=a_i$ 令 $g(x)=\sum\limits_{i=1}^mV_i(x)\prod\limits_{k\not=i}f_k(x)$

例10.设 $\mathbb{Q}[x]$ 表示有理数域上的多项式的集合。 $c$ 是某一有理系数多项式的根。令 $I=\{f(x)\in \mathbb{Q}[x]|f(c)=0\}$
证明：
(1)在 $I$ 中存在一个首项系数为1的多项式 $p(x)$ ，使得 $\forall f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ ，都有 $p(x)|f(x)$
(2) $p(x)$ 是有理数域上的不可约多项式
(3)若 $c=\sqrt{2} + i$ ，求 $p(x)$
分析：这种存在性问题一般先根据其具有的性质写出大方向，再进一步证明。
证明：(1)由条件知 $I$ 非空，不妨设 $I$ 中最小次数且首一的多项式为 $p(x)$ ，那么 $\forall f(x)\in\mathbb{Q}[x]$ 令 $f(x)=p(x)q(x)+r(x)$ 其中 $q(x),r(x)\in\mathbb{Q}[x]$ 且 $r(x)=0$ 或 $deg (r(x))<deg(p(x))$ 若 $r(x)\not=0$ 则可得 $r(c)=f(c)-p(c)q(c)=0$ 即 $r(x)$ 是比 $p(x)$ 次数更小的满足条件多项式，与取法矛盾，从而 $r(x)=0$ 得到 $p(x)|f(x)$
(2)反设 $p(x)$ 可约 $p(x)=p_1(x)p_2(x)$ 由 $p(c)=0$ 可推得 $p_1(c)=0$ 或 $p_2(c)=0$ 与 $p(x)$ 取法矛盾
(3) $(x-c)(x-\overline{c})=x^2-2\sqrt{2}x+3$ $p(x)=(x^2-2\sqrt{2}x+3)(x^2+2\sqrt{2}x+3)=x^4-2x^2+9$

利用根和互素性

例11.设多项式 $(f(x),g(x))=1$ ，则 $f^2(x)+g^2(x)$ 的重根为 $f'(x)^2+g'(x)^2$ 的根

例12.设 $f(x),g(x),h(x)\in \mathbb{F[x]}$ ，证明：存在 $a(x),b(x),r(x),s(x),t(x)\in F[x]$ 使得 $\left|\begin{array}{ccc} f(x)&g(x)&h(x)\\ a(x)&b(x)&c(x)\\ r(x)&s(x)&t(x)\end{array}\right|=(f(x),g(x),h(x))$

最后编辑于：2018.12.08 08:36:06

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