[初中数学】超难题002 一道几何选择压轴题（最短路径综合题）

作者介绍：
大爽老师，以前做过高中数学线上一对一辅导老师
现在赋闲在家，与大家分享一些初高中数学的知识，方法与思路。

题目

适用阶段：初二下学期。（学完勾股定理后）

q2_1.png

$\begin{align} & 如图，在\triangle ABC中，\angle A = 60 ^\circ, \angle ABC = 45 ^\circ, AC=4, \\ & 点D, E分别为边AB, AC上的动点，且AD=CE，\\ & 记m=CD+BE，S = S_{ \triangle ACD} + S_{\triangle BCE}, \\ & 当m取最小值时，S的值为 \_\_\_\_\_\_. \end{align}$

解答见下方。
本段为分隔符，无实际意义。
只是防止直接看到解答影响思路。
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0 总分析

类似的超难题目，在我看来，已经不是一个题目了，而是多个题目的合体。
把这些子问题拆分明白，掌握清楚，是超难题目的基本功。

这个题目其实分为三大步，
或者说，可以拆分为三个问题，来依次解决。

1 什么情况下m最小

回顾：最短问题的经典题目是，将军饮马问题。
将军饮马问题的核心思想为：
通过做对称点，把路径（所有折线）转化成两个点之间的距离。

思路分析推演

在这个问题中， $m=CD+BE$
求 $m$ 的最小值，就是求 $CD$ 和 $BE$ 两段折线的和的最小值。

这个时候，不能简单的直接使用点到直线间垂线段最短, 让 $CD \perp AB, BE \perp AC$ 。
因为D和E是有联系，相互影响的，即 $AD = CE$ ,
所以 $CD \perp AB$ 时不一定有 $BE \perp AC$

那么这个时候怎么做呢。
思考下之前最短路径的核心解决思想。
要把路径（所有折线）转化成两个点之间的距离。
那么首先要把折线连接起来。
把边CD或者边BE怎么旋转或变换，变换后两端折现可以拼一起？

而边的变换往往是通过三角形的变换来完成。
题目中又有 $AD = CE$
那么能想到的是变换 $\triangle ADC$ 和 $\triangle BCE$

变换后，D应该和E重合，然后DA应该和CE重合。
不妨变换 $\triangle BCE$ ，CE和AD重合时，B有两个位置可选，
由于C点已经在AB边的右下这一半区域。
B应该选择AB的另一半区域，也就是左上区域。

那么这个办法就出来了

参考答案

q2_2.png

$\begin{align} & \because \angle ABC = 45 ^\circ, \angle BAC = 60 ^\circ \\ & \therefore \angle ACB = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ =75 ^\circ \\ & 如图，过点A做\angle BAF = \angle ACB = 75 ^\circ，AF=BC, 连接FD\\ & \begin{cases} AD=CE, \\ \angle BAF = \angle ACB, \qquad \Rightarrow \triangle ADF \cong \triangle CEB (SAS) \\ AF=BC, \\ \end{cases} \\ & \therefore EB = DF, \\ & m = BE + CD = CD + DF \\ & 由于F点是固定的，所以m此时为F到C之间的两端折线的和。 \\ & \because 两点之间，线段最短。\\ & 连接FC，m最短即为FC，此时D为AB与FC的交点。 \end{align}$

2 在1的情况下，S要怎么求

思路分析推演

因为有 $\triangle ADF \cong \triangle CEB$
又因为m最小时，D在FC上
所以此时 $S = S_{ \triangle ACD} + S_{\triangle BCE} =S_{ \triangle ACD} + S_{\triangle ADF} = S_{ \triangle AFC}$

三角形面积的根本公式是 $S = \frac 1 2 底 \times 高$

$\triangle AFC$ 就三个边可以作为底，那么就是从这里面选择一个底，然后去做底的高来求。

实际上选择AC或AF做底，算起来都差不多。
这里不妨选择以AF为底，过C做AF上的高。
那么方法就如下

参考答案

q2_3.png

$\begin{align} & 如图，做CG \perp AF 交FA延长线于点G \\ & \angle FAD = \angle BCE = 75 ^\circ \\ & \therefore \angle CAG = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ \\ & \therefore \triangle CAG 是等腰直角三角形 \\ & \therefore CG = \frac {\sqrt2} {2} AC = \frac {\sqrt2} {2} \times 4 = 2\sqrt2 \\ & S = \frac 1 2 CG \times AF =\sqrt2 AF \end{align}$

那么下来的问题就是求AF。

3 怎么求AF(BC)

思路分析推演

因为有 $\triangle ADF \cong \triangle CEB$
所以AF=BC，也就是要求BC的长度。

BC在 $\triangle ABC$ 中，
那么现在来分析下这个三角形的
知道三个角的度数，且还有两个特殊角度 $45^\circ$ 和 $60^\circ$ ，和一个边的长度 $AC=4$
要把特殊角度用起来就要构造直角三角形
，也就是过点做高，同时又要能用到边AC。

那么这个时候的辅助线画法就是过C做AB边上的高。
那么方法就如下

参考答案

q2_4.png

$\begin{align} & 如图，做CH \perp AB 交AB于点H \\ & \because \angle HAC = 60^\circ \\ & \therefore AH = \frac 1 2 AC = 2, HC = \sqrt 3 AH = 2\sqrt3 \\ & \because \angle HBC = 45^\circ \\ & \therefore BC = \sqrt2 CH = \sqrt2 \times 2\sqrt3 = 2 \sqrt6 \end{align}$