问题描述
假设已有N张稀疏的图像，大小为800*800。请问如何通过稀疏表达的方式对原有图像数据进行压缩，同时保证图像尽量不失真。y向量代表原有的图像（640000维），A是字典矩阵（K*640000），x是稀疏表示向量（K维），因为K远远小于N，我们认为，稀疏表示后的数据获得了大幅的压缩。求A的过程通常称为字典学习。已知A，求x的过程称为稀疏表示。通常这两者可以等同。在实际训练的过程中，为了减少计算量，通常将图像切割为小的patch（8*8或16*16），然后针对这些patch进行训练获得patch字典。另外，值得一提的是，还有一个很火的概念叫压缩感知，和稀疏表示有些关联，但主要是关注在如何减少采样点上。
模型建立
可以将该问题看成一个优化问题，第一项是确保A和xi能够很好地重构yi（失真少），第二项是确保xi尽量稀疏（字典构建耦合性小）。正则项本该用L0范数（非零项的个数），但因为比较难求解，这里用L1范数代替，L1范数代表的是绝对值的和。
模型求解
输入是yi，需要求解的是A和xi。刚开始的时候，A是一个由部分yi构成的初始矩阵，然后求解xi，xi确定后，可以再求优化后的A，如此反复迭代获得最优的结果。这种求解方式称为KSVD，速度比较快。这是两步求解的算法：先固定A，求x，再固定x更新A，交替进行。K-SVD和K-means方法本质上都属于一种压缩的思想，都主要包含以下两个步骤：（1）稀疏编码；（2）字典更新。K-SVD中，稀疏编码可使用OMP方法，然后字典更新使用SVD奇异值分解，细节可参考以下链接的内容：（http://blog.csdn.net/hjimce/article/details/50810129，https://wenku.baidu.com/view/f31e3f82e43a580216fc700abb68a98271feac56.html）
在K-means方法中，K-means 先随机选择K个初始点作为字典，K个初始点就代表K类。然后通过K-means聚类，聚出K个类（稀疏编码阶段），每个聚类中心（均值）做为新的字典（字典更新）。K-means的编码矩阵X是一个高度稀疏的矩阵，X的每一列就只有一个非零的元素，对应聚类中心。而K-SVD的编码矩阵的每一列可以有多个非零元素。
K-SVD方法的求解步骤如下：
1. 基本定义
Y是一个矩阵，是参与训练的样本yi的集合，样本数量为n，假设样本的维度是m。
A是一个矩阵，是字典，该矩阵是k*m，其中k是字典中原子的数量，m是原子的维度（和样本维度一致）
X是一个矩阵，是稀疏代码xi的集合，xi的维度是m
2. 初始化
从样本集Y中随机挑选k个样本，作为A的初始值；并且初始化X为0。
3. 求解xi
为了简单起见，我们抽出一个样本进行讨论，假定样本为y向量，稀疏代码为x向量。现在y和A算是已知的，求解x，同时满足x尽量的稀疏，也就是非零元素尽量的少。假设A为[a1,a2,a3,a4,a5]，其中有5个原子。首先求出离y距离最近的原子，假设是a3。那么我们就可以求出一个初步的x为[0,0,c3,0,0]，c3是一个未知系数，代表原子的权重。假定y=c3*a3。可求得c3的值。接着我们用求出的c3求残差向量y'=y-c3*α3，y'是一个预设的阈值向量，当y'小于阈值的话，则停止计算，如果不小于的话，转到下一步。
计算剩余的原子a1,a2,a4,a5中与残差向量y'距离最近的，假设是a1，那么更新x为[c1,0,c3,0,0]，假设y=c1*a1+c3*a3，求解出c1，然后更新残差向量y'=y-c1*a1-c3*α3。判断是否小于阈值，如果不满足，再继续求下一个最近的原子的系数。求解原子系数的数量也可以指定为一个常量，例如3，那就代表迭代3次。
4. 更新字典
通过上一个步骤可以求出所有的xi，接着就可以更新字典A了。K-SVD的方法是逐个地更新字典的原子以及编码。
