环的理想，素理想和极大理想

环的定义：我们知道，环是一个非空集合,在上面有着两种预算，我们称为加法和乘法. 并且满足是一个交换群，是一个半群，除此之外，乘法对加法满足左分配律和右分配律。

注：因为环对于乘法构成的是一个半群，因此在环上一定有零元，但是不一定有单位元。

子环：我们假设为的一个非空子集，并且满足自身构成环，且对上的加法和乘法封闭，我们就说是的一个 子环。

例：对于整数的加法和乘法构成一个环。就是他的一个子环。就不是它的子环，因为中的元素和不是整数。

在上面子环的例子中，我们发现是的一个子集，且满足对于任意的,,我们有和仍然是中的元素，也就是说，虽然做为的子集，但是它可以吸收中的元素。由此引出环的理想这一概念。

【理想这一命名的来源】戴德金最早提出了这一类子集，并将其命名为"ideal"，【德语中的ideale】，强调它是环中“最理想，最适配”的子集-恰好可以支撑商环的构造。

理想：环的理想是它的一个子集：满足如下两个条件：
①对任意，有。【即是加法子群】
②对于任意的，有【左吸收】和【右吸收】。
③显然有和本身都是的理想，把它们叫做平凡的理想。我们可以证明，当是一个幺环时，任何一个非平凡的理想都不可能含有单位元素。

注：如果只满足左吸收，我们就把叫做左理想，如果只满足右吸收，我们就把叫做右理想。我们通常说的理想是指双边理想，也就是同时满足左右吸收率。

常见的理想的例子：
①对于整数环,对任意的正整数,有都是的理想。
②模6剩余类,我们有是它的一个理想.也是它的一个理想。

我们知道，在整数中有一类性质非常好的数：素数，我们一般用字母来表示。我们有下面的定理：

也就是说素数是一类性质非常好的数。因此我们类比素数的性质，来定义素理想。

素理想：设是有单位元的交换环，是的一个非平凡理想。如果对于任意的如果有 我们就能够推出或则。那我们把称为的一个素理想。

整数环的素理想：或者

那么在对于环的结构的研究中，素理想起着一个什么作用呢？我们有如下定理：

多项式环中为素理想，所以是一个整环。

极大理想：假设是环的一个理想，如果说在中包含的理想只有和，那我们就把称为的极大理想。

注意：极大理想是不唯一的，比如对于整数环,任何一个素数的生成理想都是的极大理想，他们互不相同。
但是如果说不是素数，那么虽然也是的一个理想，但是就不是极大理想了。

这是因为素数具有在整数中“不可约分的这一重要性质”。由此我们可以联想到“不可约多项式”的性质，于是就有了下面的定理。

在域上的一元多项式环中，假设是次数大于的多项式，我们有如下结论：