线性代数(四)线性方程组

一、齐次线性方程组

方程组
\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \cdots \cdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=0\end{array}\right.
称为m个方程n个未知量的齐次线性方程组,其向量形式为
x _ { 1 } \alpha _ { 1 } + x _ { 2 } \alpha _ { 2 } + \cdots + x _ { n } \alpha _ { n } = 0
其中
\boldsymbol{\alpha}_{j}=\left[\begin{array}{c} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ \vdots \\ a_{n j} \end{array}\right], j=1,2, \cdots, n
其矩阵形式为
\mathbf{A}_{m \times n} x=0
其中
A_{m \times n}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right], \quad x=\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right]

1、有解的条件

当r(A)=n时(\alpha_1,\alpha_2,\cdots, \alpha_n线性无关)，方程组又唯一零解

当r(A)=r<n时(\alpha_1,\alpha_2,\cdots, \alpha_n线性相关)，方程组有非零解，且有n-r个线性无光解

2、解的性质

若 A \xi_{1}=\mathbf{0}, \mathbf{A} \xi_{2}=\mathbf{0}, 则 A\left(k_{1} \xi_{1}+k_{2} \xi_{2}\right)=0, 其中 k_{1}, k_{2} 是任意常数.

3、基础解系和解的结构

1.3.1 基础解系

设\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}满足

  • 是方程组\boldsymbol{Ax=0}的解；
  • 线性无关
  • 方程组\boldsymbol{Ax=0}的任一解均可由\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}线性表出

则称\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}为方程组\boldsymbol{Ax=0}的基础解系

1.3.2 通解

设\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}是方程组\boldsymbol{Ax=0}的基础解系，则k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}是方程组\boldsymbol{Ax=0}的通解，其中k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}是任意常数

4、求解方法与步骤

  • 将系数矩阵 A 作初等行变换化成阶梯形矩阵 B( 或最简阶梯形矩阵 \boldsymbol{B}),初等行变换将方程组化为同解方程组,故 A x=0 和 B x=0 同解, 只需解 B x=0 即可. 设 r(A)=r,

A \stackrel{\text { 初等行变换 }}{\longrightarrow} B=\left[\begin{array}{cccccc}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 r} & \cdots & c_{1 n} \\ 0 & c_{22} & \cdots & c_{2 r} & \cdots & c_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c_{r} & \cdots & c_{m} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0\end{array}\right]_{m \times n}

其中,m是原方程组中方程个数,n是未知量个数.

  • 按列找出一个秩为r的子矩阵,则剩余列位置的未知数即设为自由变量.
  • 按基础解系定义求出\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}，并写出通解

二、非齐次线性方程组

方程组
\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_1 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_2 \\ \cdots \cdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_m\end{array}\right.
称为m个方程n个未知量的齐次线性方程组,其向量形式为
x _ { 1 } \alpha _ { 1 } + x _ { 2 } \alpha _ { 2 } + \cdots + x _ { n } \alpha _ { n } = b
其中
\alpha_{j}=\left[\begin{array}{c}a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ \vdots \\ a_{m j}\end{array}\right], j=1,2, \cdots, n, \quad b=\left[\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right]
其矩阵形式为
\mathbf{A}_{m \times n} x=b
其中
A_{m \times n}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right], \quad x=\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right]
矩阵\left[\begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_{m}\end{array}\right] 称为矩阵 A 的增广矩阵,简记成 [A | b] 或 [A, b] .

1、有解的条件

若 r(A) \neq r([\boldsymbol{A}, b])\left(b\right. 不能由 \alpha_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{a}_{n} 线性表出 ), 则方程组无解;

若 r(\boldsymbol{A})=r([\boldsymbol{A}, b])=n\left(\right. 即 \alpha_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \alpha_{n} 线性无关 , \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}, \boldsymbol{b} 线性相关),则方程组有唯一解

若 r(A)=r([\boldsymbol{A}, b])=r<n, 则方程组有无穷多解.

2、解的性质

设\eta_1,\eta_2,\eta是非齐次线性方程组Ax=b的解，\xi是对应齐次线性方程组Ax=0 的解则：

  • \eta_1-\eta_2是Ax=0的解
  • k \xi+\eta 是 A x=b 的解.

3、求解方法与步骤

将增广矩阵作初等行变换化成阶梯形(或最简阶梯形)矩阵,求出对应齐次线性方程组的通解,再加上一个非齐次线性方程组的特解即是非齐次线性方程组的通解

  • 写出 A x=b 的导出方程组 A x=0, 并求 A x=0 的通解 k_{1} \xi_{1}+k_{2} \xi_{2}+\cdots+k_{n-}, \xi_{n-r} .

  • 求出 A x=b 的一个特解 \eta .

  • 则 A x=b 的通解为 k_{1} \xi_{1}+k_{2} \xi_{2}+\cdots+k_{n-}, \xi_{n-r}+\eta, 其中 k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n-r} 为任意常数.

三、克拉默法则

若n个方程n个未知数的线性方程组
\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}
其中
\boldsymbol{A}=\left[ \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right] ,\,\,\boldsymbol{x}=\left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{array} \right] ,\,\,\boldsymbol{b}=\left[ \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{array} \right]
若系数行列式|A|≠0则方程组有唯一解
x_1=\frac{\varDelta _1}{\varDelta},x_2=\frac{\varDelta _2}{\varDelta},\cdots ,x_n=\frac{\varDelta _n}{\varDelta}
其中
\varDelta _i\xlongequal{\text{def}}\overset{\begin{array}{c} \text{以}\boldsymbol{b}\text{取代第}i\text{列}\\ \\ \end{array}}{\left| \begin{matrix} a_{11}& \cdots& b_1& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& \cdots& b_2& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \ddots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& b_n& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right|}

  • 推论：若齐次线性方程组

\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}

的系数行列式不等于0，则方程组只有0解

  • 推论：若齐次线性方程组
    \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}

有非零解，则系数行列式|A|=0

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