一、齐次线性方程组

方程组
$\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \cdots \cdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=0\end{array}\right.$
称为m个方程n个未知量的齐次线性方程组,其向量形式为
$x _ { 1 } \alpha _ { 1 } + x _ { 2 } \alpha _ { 2 } + \cdots + x _ { n } \alpha _ { n } = 0$
其中
$\boldsymbol{\alpha}_{j}=\left[\begin{array}{c} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ \vdots \\ a_{n j} \end{array}\right], j=1,2, \cdots, n$
其矩阵形式为
$\mathbf{A}_{m \times n} x=0$
其中
$A_{m \times n}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right], \quad x=\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right]$

1、有解的条件

当 $r(A)=n$ 时( $\alpha_1,\alpha_2,\cdots, \alpha_n$ 线性无关)，方程组又唯一零解

当 $r(A)=r<n$ 时( $\alpha_1,\alpha_2,\cdots, \alpha_n$ 线性相关)，方程组有非零解，且有n-r个线性无光解

2、解的性质

若 $A \xi_{1}=\mathbf{0}, \mathbf{A} \xi_{2}=\mathbf{0}$ , 则 $A\left(k_{1} \xi_{1}+k_{2} \xi_{2}\right)=0$ , 其中 $k_{1}, k_{2}$ 是任意常数.

3、基础解系和解的结构

1.3.1 基础解系

设 $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$ 满足

是方程组 $\boldsymbol{Ax=0}$ 的解；
线性无关
方程组 $\boldsymbol{Ax=0}$ 的任一解均可由 $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$ 线性表出

则称 $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$ 为方程组 $\boldsymbol{Ax=0}$ 的基础解系

1.3.2 通解

设 $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$ 是方程组 $\boldsymbol{Ax=0}$ 的基础解系，则 $k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$ 是方程组 $\boldsymbol{Ax=0}$ 的通解，其中 $k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$ 是任意常数

4、求解方法与步骤

将系数矩阵 $A$ 作初等行变换化成阶梯形矩阵 $B($ 或最简阶梯形矩阵 $\boldsymbol{B})$ ,初等行变换将方程组化为同解方程组,故 $A x=0$ 和 $B x=0$ 同解, 只需解 $B x=0$ 即可. 设 $r(A)=r$ ,

$A \stackrel{\text { 初等行变换 }}{\longrightarrow} B=\left[\begin{array}{cccccc}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 r} & \cdots & c_{1 n} \\ 0 & c_{22} & \cdots & c_{2 r} & \cdots & c_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c_{r} & \cdots & c_{m} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0\end{array}\right]_{m \times n}$

其中,m是原方程组中方程个数,n是未知量个数.

按列找出一个秩为r的子矩阵,则剩余列位置的未知数即设为自由变量.
按基础解系定义求出 $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$ ，并写出通解

二、非齐次线性方程组

方程组
$\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_1 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_2 \\ \cdots \cdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_m\end{array}\right.$
称为m个方程n个未知量的齐次线性方程组,其向量形式为
$x _ { 1 } \alpha _ { 1 } + x _ { 2 } \alpha _ { 2 } + \cdots + x _ { n } \alpha _ { n } = b$
其中
$\alpha_{j}=\left[\begin{array}{c}a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ \vdots \\ a_{m j}\end{array}\right], j=1,2, \cdots, n, \quad b=\left[\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right]$
其矩阵形式为
$\mathbf{A}_{m \times n} x=b$
其中
$A_{m \times n}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right], \quad x=\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right]$
矩阵 $\left[\begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_{m}\end{array}\right]$ 称为矩阵 $A$ 的增广矩阵,简记成 $[A | b]$ 或 $[A, b] .$

1、有解的条件

若 $r(A) \neq r([\boldsymbol{A}, b])\left(b\right.$ 不能由 $\alpha_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{a}_{n}$ 线性表出 $)$ , 则方程组无解;

若 $r(\boldsymbol{A})=r([\boldsymbol{A}, b])=n\left(\right.$ 即 $\alpha_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关 $, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}, \boldsymbol{b}$ 线性相关),则方程组有唯一解

若 $r(A)=r([\boldsymbol{A}, b])=r<n$ , 则方程组有无穷多解.

2、解的性质

设 $\eta_1,\eta_2,\eta$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解， $\xi$ 是对应齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解则：

$\eta_1-\eta_2$ 是 $Ax=0$ 的解
$k \xi+\eta$ 是 $A x=b$ 的解.

3、求解方法与步骤

将增广矩阵作初等行变换化成阶梯形(或最简阶梯形)矩阵,求出对应齐次线性方程组的通解,再加上一个非齐次线性方程组的特解即是非齐次线性方程组的通解

写出 $A x=b$ 的导出方程组 $A x=0$ , 并求 $A x=0$ 的通解 $k_{1} \xi_{1}+k_{2} \xi_{2}+\cdots+k_{n-}, \xi_{n-r} .$
求出 $A x=b$ 的一个特解 $\eta .$
则 $A x=b$ 的通解为 $k_{1} \xi_{1}+k_{2} \xi_{2}+\cdots+k_{n-}, \xi_{n-r}+\eta$ , 其中 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n-r}$ 为任意常数.

三、克拉默法则

若n个方程n个未知数的线性方程组
$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$
其中
$\boldsymbol{A}=\left[ \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right] ,\,\,\boldsymbol{x}=\left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{array} \right] ,\,\,\boldsymbol{b}=\left[ \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{array} \right]$
若系数行列式|A|≠0则方程组有唯一解
$x_1=\frac{\varDelta _1}{\varDelta},x_2=\frac{\varDelta _2}{\varDelta},\cdots ,x_n=\frac{\varDelta _n}{\varDelta}$
其中
$\varDelta _i\xlongequal{\text{def}}\overset{\begin{array}{c} \text{以}\boldsymbol{b}\text{取代第}i\text{列}\\ \\ \end{array}}{\left| \begin{matrix} a_{11}& \cdots& b_1& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& \cdots& b_2& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \ddots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& b_n& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right|}$