EOF经验正交分解（PCA）

1.PCA与EOF的区别和联系

经验正交函数分析方法(empirical orthogonal function，缩写EOF)也称特征向量分析(eigenvector analysis)，或者主成分分析(principal component analysis)，是一种分析矩阵数据中的结构特征，提取主要数据特征量的一种方法。可以知道这两者是同一种分析方法，只是称号不同。
两者叫法不同，主要是关注的侧重点不同。

在EOF中，我们更加关注得到的协方差矩阵的特征向量，也叫做空间特征向量(空间模态)。第i个特征向量就叫做第i个模态：EOF_{i}。空间模态在一定程度上反映了要素场的空间分布特点，如果是针对气象数据的计算，那么就是重新拟合的要素场或者说是模态。PC（主成分）对应时间变化，也称为时间系数，反映相应空间模态随时间的权重变化。

在PCA中，主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，也叫主成分。

从数学上可以证明，原变量协方差矩阵的特征根是主成分的方差，所以前m个较大特征根就代表前m个较大的主成分方差值；原变量协方差矩阵前m个较大的特征值 $\lambda_{i}$ (这样选取保证主成分的方差依次最大)所对应的特征向量就是主成分 $PC_{i}$ 表达式的系数 $a_{i}$ ，为了加以限制，系数 $a_{i}$ 对应的特征向量进行了单位化。<font color = blue>看完后面再看</font>

2.数学原理与算法

选定要分析的数据，进行数据预处理，通常处理成距平的形式，得到一个数据矩阵 $X_{m\times n}$ 。m代表单个数据有m个维度，n代表时间上采样n次。
$\begin{align}X &= (x_{ij}) \\ &= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ x_{m1} & x_{m2} & \dots & x_{mn}\end{bmatrix},\\ {\color{Blue} } &(i = 1, 2, \dots ,m;j = 1, 2, \dots ,n).\end{align}$

计算X与其转置矩阵 $X^{T}$ 的交叉积，得到方阵
$C_{m\times m} = \frac{1}{n}X \times X^{T}$
如果X是已经处理成距平的话，则C称为协方差矩阵；如果X已经标准化（即C中每行数据的平均值维0，标准差为1），则C称为相关系数阵。
计算方阵C的特征值( $\lambda_{1,\dots,m}$ )和特征向量 $V_{m\times m}$ ，二者满足
$C_{m\times m} \times V_{m\times m} = V_{m\times m} \times \wedge_{m\times m}$
其中 $\wedge$ 是 $m\times m$ 维对角阵，即
$\wedge = \begin{bmatrix} \lambda_{1}& 0& \dots& 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_{m} \\\end{bmatrix}$
一般将特征值 $\lambda$ 从大到小排列，反映各个主成分重要性。==因为数据X是真实的观测值，所以 $\lambda$ 应该大于或者等于0==。每个非零特征值对应的一列特征向量就是EOF。如 $\lambda{1}$ 对应的特征向量值称为第一个EOF模态，也就是V的第一列即 $EOF_{1} = V(:, 1)$ ;第k个特征值对应的特征向量为V的第k列，也叫做第k个模态。
计算主成分。将EOF投影到原始数据矩阵X上，就得到所有空间特征向量对应的时间系数（即主成分），即
$PC_{m\times n} = V^{T}_{m\times m} \times X_{m\times n}$
其中PC中每行数据就是对应每个特征向量的时间系数，第一行 $PC(1, :)$ 就是第一个EOF的时间系数，其他类推。

上面是对数据矩阵X进行计算得到的EOF的主成分(PC)，因此利用EOF和PC也可以完全恢复原来的数据矩阵X，即
$X = EOF \times PC$
有时可以用前面最突出的几个EOF模态就可以完全拟合出矩阵X的主要特征，此外，EOF和PC都具有正交性的特点，可以证明 $\frac{1}{n}PC\times PC^{T} = \wedge$ ；即不同的PC之间相关性为0。同时各个模态之间相关为0，是独立的。

3.常用的计算方法

直接使用eig方法
```
[EOF, E] = eig(C)
```
其中EOF为计算得到的空间特征向量，E为特征根。
直接对矩阵X进行奇异值分解
$X = U\sum V^{T}$