Convex Optimization 3 -- Convex functions

Outline

  • basic properties and examples
  • operations that preserve convexity
  • the conjugate function
  • quasiconvex functions
  • log-concave and log-convex functions
  • convexity with respect to generalized inequalities

1.Definition

f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} is convex if \textbf{dom} f is a convex set and
f(\theta x+(1-\theta)y)\leq\theta f(x)+(1-\theta)f(y)
for all x,y\in\textbf{dom} f,0\leq\theta\leq 1

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