2.19 线性代数简介 Introduction to linear algebra

https://www.youtube.com/watch?v=NFTSnDpEZNQ&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=32

前言

线性代数对于量子力学非常重要，以前讲到的正交中就有线性代数的用武之地。量子力学并不利用简单的笛卡尔坐标，而是用复数空间的向量来描述物理体系。所以找到理解复数空间和复数向量的简单方法，有利于从简单薛定谔方程求解过渡到物理体系的性质。

1. 为什么重要

$\begin{array}{c|c|c}\hline 传统向量 & 量子力学 & Notation \\ \hline \vec a & \psi(x) & \vec a \rightarrow |a\rangle \\ \vec a \cdot \vec b & \int \psi_a^* \psi_b(x)dx & \overbrace{bra}^{\langle a|}c\overbrace{ket}^{|a\rangle} \\ \vec a = a_x \hat x + a_y \hat y + a_z \hat z & \psi(x) & | a \rangle \rightarrow "ket\ a" \\ = a_{\alpha} \hat x + a_{\beta} \hat \beta + a_{\gamma} \hat \gamma & \phi(k) & \langle a | \rightarrow "bra\ a" \\ \hat x \cdot \hat x = 1 & \int \psi^* \psi dx = 1 & - \\ \hline \end{array}$

可以看出：
- 传统向量和波函数有某种相似，不同的基向量可以表示同一向量，类似波函数 $\psi(x)$ 可以用傅里叶变换表示 $\phi(x)$ ,表达式不同，但表示的内容相同。
- 单位向量点乘自己等于1，波函数点乘自己的共轭的积分也等于1
- 由于量子力学对自旋的区分，因此才有了bra和ket，他们方向相反，互为共轭。

2. 向量的性质

有0
$|\alpha \rangle + | 0\rangle = | \alpha\rangle$
有1
$1| \alpha\rangle = | \alpha \rangle$
加减
$|\alpha \rangle + |\beta \rangle = |\gamma \rangle = | \beta\rangle + |\alpha \rangle$
数乘法
$a | \alpha\rangle = | \gamma\rangle$
乘法分配率
$a(| \alpha \rangle + |\beta \rangle) = a |\alpha \rangle + a | \beta \rangle$
$(a+b) |\alpha \rangle = a|\alpha \rangle + b|\alpha \rangle$
乘法结合律
$a b | \rangle = a (b| \rangle) = b (a| \rangle) = (ab) | \rangle$
不满足乘法交换律，因为有方向

3. 函数的性质-叠加/线性组合

$a | \alpha \rangle + b | \beta \rangle + c | \gamma \rangle + ···$

线性独立
- 如果 $| \alpha \rangle和| \beta \rangle$ 之间满足如下关系 $| \alpha \rangle = a| \beta \rangle + c | \gamma \rangle$ ，说明他们之间线性相关
- 如果 $| \alpha \rangle和| \beta \rangle$ 之间不满足如下关系 $| \alpha \rangle = a| \beta \rangle + c | \gamma \rangle$ ，说明他们之间线性独立
基失:即存在基失 $\{| x_i \rangle \}$ 满足如下关系
$|\alpha \rangle = \sum_i \{c_i| x_i \rangle \}$
空间(span)
如果空间中每一个 $|\alpha_i \rangle$ 都可以写成 $|\alpha \rangle = \sum_i \{c_i| x_i \rangle \}$ ，那么 $\{| x_i \rangle \}$ 就是span空间
维度
基矢 $\{| x_i \rangle \}$ 的最小数量

4. 向量内积

内积的形式如下
$\langle \alpha | \beta \rangle$
内积的共轭
$\langle \alpha | \beta \rangle$ = $\langle \beta | \alpha \rangle^*$
向量自身的内积
$\underbrace{\langle \alpha | \alpha \rangle}_{实数} \geq 0$
正交
$\langle \alpha | \beta \rangle=0$
$\delta_{ij} 函数$
如果满足如下关系，说明向量之间是正交关系
$\langle x_i | x_j \rangle=\delta_{ij}$

5. 正则化/归一化（Normalization）

向量的长度
$||\alpha|| = \sqrt{\langle \alpha | \alpha \rangle}$
如果 $||\alpha|| = 1$ ,说明向量是归一化的。

6. 系数

$\begin{array}{c|c}\hline 三维& 多维\\ \hline | x\rangle, | y\rangle, | z\rangle & \{ |x_i \rangle\} \\ | \alpha \rangle = \alpha_x | x\rangle + \alpha_y | y\rangle + \alpha_z | z\rangle & |\alpha \rangle = \sum_i \alpha_i | x_i\rangle \\ | \beta \rangle = \beta_x | x\rangle + \beta_y | y\rangle + \beta_z | z\rangle & \alpha_i = \langle x_i| \alpha \rangle \\ \langle \alpha | \beta \rangle = \alpha_x^* \beta_x + \alpha_y^* \beta_y + ... & \langle \alpha | \beta \rangle = \sum_i \alpha_i^* \beta_i \\ \langle \alpha | \alpha \rangle = \alpha_x^* \alpha_x + \alpha_y^* \alpha_y + ... & \langle \alpha | \alpha \rangle = \sum_i \alpha_i^* \alpha_i \\ \alpha_x = \langle x | \alpha \rangle ; \alpha_y = \langle y| \alpha \rangle & - \\ \hline \end{array} \\$

上表可以看出：
- 基矢的线性组合可以得到向量 $| \alpha \rangle，| \beta \rangle$
- $| \alpha \rangle，| \beta \rangle$ 的内积就是系数的一一相乘加和
- 每个线性组合中，基矢前的系数等于该基矢与向量的内积（注意这个结论下一节会用到）