多元函数的泰勒展开式

之前一直只是用一元函数的泰勒展开，后来发现原来泰勒展开还有多元。列一列以供以后参考：

  • 一元函数在点x_k处的泰勒展开式为：
    f(x)=f(x_k)+(x-x_k)f'(x_k)+\frac{1}{2!} (x-x_k)^2 f''(x_k)+o^n
  • 二元函数在点(x_k,y_k)处的泰勒展开式为:
    f(x, y)=f(x_k, y_k)+(x-x_k)f_x'(x_k, y_k)+(y-y_k)f_y'(x_k, y_k)\\+\frac{1}{2!} (x-x_k)^2 f_{xx}''(x_k, y_k)+\frac{1}{2!} (x-x_k)(y-y_k) f_{xy}''(x_k, y_k)+\frac{1}{2!} (x-x_k)(y-y_k) f_{yx}''(x_k, y_k)+\frac{1}{2!} (y-y_k)^2 f_{yy}''(x_k, y_k)+o^n
  • 多元函数在点x_k处的泰勒展开式为:
    f(x^1,x^2,...,x^n)=f(x_k^1,x_k^2,...,x_k^n)+\sum_{i=1}^{n}(x^i-x_k^i)f_i'(x_k^1,x_k^2,...,x_k^n)\\+\frac{1}{2!}\sum_{i,j=1}^{n}(x^i-x_k^i)(x^j-x_k^j)f_{ij}''(x_k^1,x_k^2,...,x_k^n)+o^n
    写成矩阵形式:
    f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_k})+[\nabla f(\boldsymbol{x_k})]^T(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_k})+\frac{1}{2!}[\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_k}]^T H(\boldsymbol{x_k})[\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_k}]+o^n
    Where \nabla f(\boldsymbol{x_k}) is the Jacobian matrix, and H(\boldsymbol{x_k}) is the Hessian.
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