教学目标
知识技能:
1.了解无理数和实数的概念以及实数的分类。
2.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系。
情感态度:
1.通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用。
2.敢于面对数学活动中的困难,并能有意识地运用已有知识解决新问题。
重点难点
重点:了解无理数和实数的概念。难点:对无理数的认识。
6.1 第一学时
教学活动
活动1【导入】实数
经过几节课的学习,我们认识了算术平方根、平方根及立方根,这些数都源于我们的生活,今天我们将继续来认识生活中的数。首先,我们从一个小视频开始我们今天的数学旅程,大家注意:小视频中也蕴含着数学知识哦!
活动2【活动】实数
我们看了洋葱视频知道了根号2也有组织，小数可分为有限小数和无限小数，有理数的分类。
活动3【讲授】实数
无理数？
我们之前接触过这样的数吗?
你怎么知道圆周率π和 是无限不循环小数呢?你知道圆周率π小数点后第几位?
老师这里有一个计算器,它能帮助我们计算出圆周率π和 等无限不循环小数的小数点后很多位数,比如π,你想看到小数点后第几位数?
借助计算器显示π和 小数点后10000位数字。
看,这就是“无限不循环!”
活动4【讲授】实数
在刚才的视频中我们认识了无限不循环小数,它是我们之前学习过的有理数吗?(问题二)
首先,我们一起来复习一下什么是有理数?
不管是整数还是分数,我们都可以把它们统一为小数的形式,下面请同学们拿出计算器,把下面的分数化为为小数的形式,看看有什么发现?
(1)利用计算器,把下列有理数3, , , , , 转换成小数的形式。
(2)这些小数是无限不循环小数吗?由此你得到什么结论?
(3)再找一些别的数试一试,上面的结论还成立吗?请同学们分小组进行合作探究,把小组得到的结论写下来。
教师讲解:
任何一个有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式;反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数!
那么说明——无限不循环小数不是有理数。
活动5【讲授】实数
其实这样的数早在公元前6世纪就被人们所发现。你了解无限不循环小数的历史吗?(问题三):
下面通过视频看一下无理数的发现过程：
1.最早发现无限不循环小数的是古希腊毕达哥拉斯的学生——希帕索斯(Hippasus)!但是他的发现不被他的老师认可,最终被扔到海里淹死了。
2.在我国,祖冲之精确计算出了小数点后第七位,是世界上最早精确计算圆周率的人!他的记录保持了一千年。现在的最高记录已经精确到小数点后两千零六十一亿五千八百四十三万位。计算圆周率已经成为检验计算机计算精度的一个常用的方法。
3.但是对于这样的数,人们感到十分惶恐,达芬奇曾经说它“不可理喻”,开普勒曾经说它“不可名状”。由此,引发了第一次数学危机。无限不循环小数也因此得名——无理数!
4.事实上,很多正有理数的平方根和立方根都是无理数。(引出无理数概念)
活动6【练习】实数
我们已经认识了无理数,你能举出哪些无理数的例子吗?(问题四)
很棒,大家举了很多无理数,它们都是带根号的数,那么请问带根号的数都是无理数吗?
由此,我们可以得出第一种常见的无理数的类型,它们是带根号且开不尽方的数。
你还能举出别的形式的无理数吗?
对,这是常见的另一种常见的无理数类型:像π, …这样的数。
你还见过别的形式的无理数吗?像课前游戏中产生的无理数,或一些有规律但不循环的小数。这是第三种无理数的常见类型。
已经对常见的几种无理数的常见类型进行了解了,你能快速的辨别无理数了吗?试一试。
活动7【讲授】实数
有了无理数的加入,数的范围又扩充了。但是,1545年,意大利数学家卡尔丹在解三次方程时又有了惊人的发现——存在一类新的数,如何把有理数和无理数与卡丹发现的新数区别开呢?法国数学家笛卡尔在1637就率先提出来把有理数和无理数统称为实数。 (引出实数概念)
数的大家庭成员在扩充,难免会造成识别上的困难和混乱。因此有必要对它们进行分类。你能对实数进行合理的分类吗?试一试。(问题五)
活动8【练习】实数
你学会了吗?练一练吧。
(1)把下列各数分别填在相应的集合中:
①有理数集合{ …}
②无理数集合{ …}
(2)把下列各数填入相应的集合内:
,4, , , , , , , (两个2之间1的个数每次多一个)。
①有理数集合{ …}
②无理数集合{ …}
③正实数集合{ …}
④负实数集合{ …}
活动9【活动】实数
我们已经从数的角度认识了无理数,从形的角度,无理数真的象开普勒曾经说过的“不可名状”吗?
下面我们一起进入问题六:
1、我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示,那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢?从我们最熟悉的无理数开始研究吧。你能在数轴上找到表示 的点吗?
首先,通过刚才的洋葱视频，一起来回顾一下,我们是怎么认识 的?
幻灯片演示用两个边长为1的小正方形拼成边长为 的正方形的过程。你发现长度为 的线段与小正方形的关系了吗?
利用这一关系,你能想到在数轴上表示 的方法了吗?动手画一画,然后小组交流你的画法。
2、表示 的点在数轴上找到了,你能在数轴上找到表示 的点吗?
说到 ,你想到了什么?
如何把圆的周长在数轴上表示出来呢?
学生探究出结果后,教师演示多媒体课件。
讲解:
事实上,每一个无理数都可以用数轴上的点表示出来。数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数!在无理数出现之前的数轴是有“孔隙”的,无理数出现后,就将这些“孔隙”填满了!
当数从有理数扩充到实数后,实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数!
活动10【活动】实数
通过这节课的学习:
1.你有哪些收获或体会?
2.你的工作是否获得你小组的肯定?
活动11【作业】实数
1.第178页习题10.3第1题,第2题。
2.课外阅读:关于无理数、圆周率的相关网站,相信你会有更多收获!
3.课后思考:①进一步,平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也存在一一对应关系吗?②当数从有理数扩充到实数以后,相反数和绝对值的意义以及运算法则对于实数来说是否还适用呢?
