Week 7

Jordan Cotler and Kristan Jensen, "Wormholes and black hole microstate in AdS/CFT"

在人们成功推导出Page curve以后，在量子引力领域，可能一个比较重要的问题是：How smart is semi-classical Euclidean path integral (with the new ingredient AdS/CFT)?

虽然我们不能直接计算量子引力的fine grained quantity，但是根据我们现在的理解，即使是coarse grained quantity也可以揭示很多量子引力的效应。想法类似于利用很多的经典bit来描述一个量子bit。

最直接是用路径积分算partition function $Z(\beta)$ ，然后做一个Laplace 变换得到系统的corse grained density of state

$\rho(E)=\int Z(\beta)e^{\beta E}d\beta.$

想要得到更多地fine grained density of state 的信息，一个想法是计算很多的统计量比如 $\rho(E_1,E_2,\dots,E_N)$ 。比如我们考虑一个具有有限自由度的离散系统，2 point density of state 就可以写成 Dirac delta 函数的求和

$\rho(E_1,E_2)=\frac{1}{d^2}\sum_{i,j}\delta(E_1-E_i)\delta(E_2-E_j)$

对于混沌系统或是ensemble theory，包括的黑洞微观态， $\rho(E_1,E_2)$ turns out 满足一些universial 的性质

$\langle \rho(E_1,E_2)\rangle-\langle \rho(E_1)\rangle \langle \rho(E_2)\rangle \sim -\frac{1}{d^2(E_1-E_2)}$

即能级趋向于彼此分开，这个行为称为long range level repulsion。在做一个double Laplace 变换可以得到一个更方便的量, spectral form factor
$Z(\beta_1,\beta_2)=\langle \text{tr}e^{-\beta_1 H} \text{tr} e^{-\beta_2 H}\rangle \equiv \langle Z(\beta_1)Z( beta_2)\rangle$
two point density state 的统计性质即可以用下面这个图来概括

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曲线有一个turn over，或者说是一种相变。上升的部分称为ramp，表明在late time，spectral form factor，会出现一个新的saddle point。

所以自然的问题是，如果从引力计算，即Euclidean path integral 来理解这个相变。
在JT 引力还有 $AdS_3$ 这些低维引力理论里，我们已经发现，这个新的saddle 对应了一个新的几何构型：其具有两个disconnected asymptotic boundaries 的类似于wormhole。这个新的saddle 被称为double cone geometry。但是这个构型并不是一个真正的saddle，他不是经典方程的解，而且是complex的。如何理解这个saddle，并且把他推广到高维是这篇文章的主要工作。

用到的关键技术手段为 constrained instanton。可以理解为一种推广的saddle point approximation方法。

大致的想法如下：

假设我们要计算的量是一个场论的配分函数：

$Z(\phi)=\int D[\phi]e^{-S[\phi]}$

我们插入一个resolution of the identity

$1=\int \frac{d\lambda d\zeta}{2\pi} e^{i\lambda(C[\phi]-\zeta)}$

这里 $C[\phi]$ 可以理解为一个functional constraint。一般来说如果我们要求理论这个系统的saddle，那么要对所有的变量求变分，既包括场 $\phi$ ，也包括auxilary的变量 $\lambda$ 和 $\zeta$ 。但是constrained instanton的含义就是，我们reserve $\zeta$ 这个变量不对他进行变分，即把他当做一个parameter，然后求运动方程的解，这个解就叫做constrained instanton。虽然叫为instanton，但是它和我们一般认为的物理上instanton并没有直接关系。最后我们在对 $\zeta$ 积分：

$Z=\int d\zeta e^{-S[\phi_\zeta]}Z_1[\phi_\zeta]$

$\phi_\zeta$ 代表了在fix $\zeta$ 时的saddle point，然后 $Z_1$ 是在其1-loop的修正。如果理论还有其他的weak coupling，我们还可以对其展开。

把类似的技术用到引力理论中，可以定义相应的gravitional constrained instanton。因为我们要寻找类似于double cone geometry那样的解，所以我们也假设我们要找的constrained instanton也是具有两个disconnected boundary并且他的一个截面是简单的torus(或者球面)
$\rho\rightarrow \infty,\quad ds^2\sim d\rho^2+e^{2|\rho|}g_{ij}dx^i dx^j.$

选取的constraint为两个边界之间的距离：
$C[g]=\int \sqrt{g_{\rho\rho}}$

这样constrained instanton 所要满足的方程即为
$R_{\mu\nu}-\frac{R}{2}g_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}-8\pi i G\lambda \frac{\sqrt{g_{\rho\rho}}}{\sqrt{g}}g_{\rho\rho}\delta^\rho_\mu \delta^\rho_\nu=0$

确实除了disconnected 的黑洞解以外，还存在connected 的wormhole 的解而且不是一个，是一大类解，依赖一个非负的连续参数 $b$ :

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with the constraint

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Comments:

什么时候，wormhole的解是一个真正的saddle而不是一个constrained saddle？

要得到真正saddle，还要对 $\zeta$ 求变分，得到的运动方程为 $\lambda=0$ 。所以对于constrained instanton $\lambda=0$ 的情况即为真实saddle。这里，有两种可能: 一， $b=0$ 这个时候，几何是singular的不是好定义的; 二， $\beta_1=\beta_2$ 。第二种可能又可以分为两种情况即 $\beta_1=-\beta_2=\beta$ ， $\beta$ 为实数的情况。这时候，wormhole的metric 退化为了黑洞的metric。另外一种可能是 $\beta_1=-\beta_2=i T$ ,这样就得了一个Lorentian signature 的metric，正好是double-cone geometry。

怎么理解参数b？

我们可以计算boundary stress-energy tenson： $T^i_i\sim \lambda$ 。所以对于 non-vanishing $\lambda$ 的wormhole，边界的Weyl symmetry 自发破缺，参数 $b$ 可以理解为自发破缺的模数。

$\lambda$ --solution

constrained instanton,也可以理解为在fix guage 的时候引入的Lagrangian multiplier后导致的爱因斯坦方程的改变。

最后我们要对所有的wormhole 求和，也就是对 $b$ 积分，得到的量称为wormhole amplitude。我们可以这样来理解：我们是要算路径积分，然后我们利用constrained把积分投影到不同的constrained instanton：即wormhole上，最后在求和。与散射振幅的类比是，散射振幅本身是物理的，但是每一个feynman 图都不是物理的，只是计算振幅时的一种展开方式。同样的单独的wormhole并不是物理的，只有wormhole amplitude才是。就如同散射振幅可以有不同的分解方式意外，也可以期待wormhole amplitude也应该有不同的分解方式，也就说有很能通过引入不同的constraint从而得到不同类型的wormhole！

Week 7

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