对于丑小鸭定理，你可能有点印象，但是你可能没想到它是一个数学定理，而且是一个1969年才出现的定理。了解这个思想，有助于我们变成一个更开朗的人。
丑小鸭定理问的是这样一个问题：一只丑小鸭跟一只天鹅之间的区别大，还是两只天鹅之间的区别大？
直观的答案肯定是前者区别大。两只天鹅毕竟都是天鹅，长得肯定像，而丑小鸭跟天鹅是很不一样的。
但这只是考虑了它们的外形，我们还可以从别的方面比较，比如DNA。假设丑小鸭是这两只天鹅生的女儿，两只天鹅作为夫妻，它们的DNA并不相似。而丑小鸭的DNA一半来自她的父亲，一半来自她的母亲。所以要比较DNA的话，丑小鸭跟其中任何一只天鹅的相似度，都远远高于这两只天鹅之间的相似度。
这个道理是，如果要比较相似度，首先得看看比的标准是什么。但是我们能想象的标准可能有无穷多个，这没有办法计数啊？所以我们需要一个数学的洞见。（如果你对数学不感兴趣，可以直接跳到第一小节的结论。）
这个洞见就是，所谓两个东西“相似”，就是在给所有东西分类时，这两个东西能被分在同一个类里面。在各种不同的分类之中，它们两个被分到一起的次数，就决定了相似度的大小。
举个例子。我们把这三只鸟排成一排，分别是天鹅A、天鹅B和丑小鸭C，来看看对这三只鸟有多少种分类方法。
具体做法是我们选择一个属性，符合这个属性的就算是一类，不符合的就不算。
比如，我们选择的属性是“白色”，两只天鹅是白色的，丑小鸭是灰色的，所以根据这个属性，两只天鹅就被选中，而丑小鸭不在这一类。这个分类结果可以用（110）表示——对应三只鸟的位置，1代表你在这个分类里，0代表你不在这个分类里。
如果选择的属性是“排第一名”，那就只有天鹅A在这个分类里，分类结果就是（100）。
如果选择的属性是“不是白色”，那就两只天鹅都不算，只有丑小鸭在这个分类里，结果就是（001）。
如果选择的属性是“白色，但是不排第一名”，结果就是（010）。
以此类推。我们会发现，下面图中表示的8种分类方法，你其实都能找到一个对应的“属性”。
左边是分类结果，最右边是分类标准，也就是事先选择的“属性”。
而且对于三个物体，一共也就只有这8种分类方式。那怎么定义相似度呢？就是看这8种分类之中，这两个物体被分到同一类的有多少种。
比如说天鹅A和丑小鸭C，就在（101）、（111）、（000）、（010）这4个分类中属于同一类，那么我们就可以说天鹅A和丑小鸭C的相似度是4。同样的道理，天鹅B和丑小鸭C的相似度也是4。而天鹅A和天鹅B的相似度呢？它们为同类的分组是（110）、（111）、（000）、（001），也是4。
也就是说，丑小鸭和天鹅之间的相似度，和两只天鹅之间的相似度，是一样的。这就是“丑小鸭定理”。
一般来说，如果有N个物体，那么就一共有2的N次方种不同的分类方法，而结果还是这样，各个物体之间的相似度是一样的。
换一个说法，丑小鸭定理也可以表述成：“丑小鸭跟天鹅之间的差异，和两只天鹅之间的差异一样大。”
2 没有“客观”的分类
丑小鸭定理是1969年由美籍日本人渡边慧证明的。当初提出这个定理是计算机模式识别的要求。
比如，现在有一大堆东西，能不能给计算机一个任务，让它自动、客观地把这些东西分个类。丑小鸭定理说，这是不可能的，因为没有给出分类标准。
比如，把一群人进行分类，是按身高分、按肤色分、按学历分，还是按DNA的相似程度分？在此之前，必须先主观地给计算机一个标准，它才能进行分类。
如果没有主观标准，那根据丑小鸭定理，这些人中任意两个人的相似程度都是一样的，不管怎么分都可以。这就是“种族不存在”这个说法的最深刻含义。
如果非得把人按照种族分，这就是一种主观的、有偏见的分法。每个人都有各种属性，凭什么非得看种族呢？从这个意义上说，种族是不存在的。
但是这个批评也适用于所有的分类标准。按种族分不合理，难道按学历、按性别把人分类就合理吗？如果一定要说“种族不存在”，那么也应该说性别和学历不存在。
所以根本不存在完全客观的分类，每一种分类都是主观的——换句话说，每一种分类都是有偏见的。先有“偏见”这个属性，我们才会根据这个属性去分类。
