博弈论在供应链决策中的应用

在零售业的供应链管理中, 我们经常会遇到一些资源分配问题, 例如商品的供需平衡, 销售利润分摊, 运输成本分摊等. 常见的分配方式有平均分和按权重(比例)分. 在某些应用场景下, 我们需要体现分配方案的"公平性", 那么如何科学地定义公平性, 又如何计算公平的分配方案? 本文从合作博弈论的角度思考如何解决这些实际问题.

1. 合作博弈

考虑某个自营电商的销售场景: 电商平台(例如网易严选)从供应商采购商品, 顾客在线下单之后, 商品会通过承运商(例如顺丰)把商品送达顾客手中. 在这个销售过程中, 供应商, 电商平台和承运商三方合作从而获得销售利润. 那么我们如何"公平地"把利润分配给三方?

合作博弈论关注的核心问题就是如何对合作产生的利润(或成本)用科学的方式进行分配. 我们用二元组 $\langle N, v \rangle$ 表示合作博弈(Cooperative Game), 其中记号 $N, v$ 的解释如下:

$N=\{1, 2, \ldots, n\}$ -- 参与博弈的局中人(Player)的集合
$S\subseteq N$ -- 局中人集合的任意子集称为联盟(Coalition)
$v: 2^N \rightarrow \mathbb{R}$ -- 联盟的效用函数. $v(S)$ 可以及理解为联盟 $S$ 合作产生的总收益.

问题. 给定 $\langle N, v \rangle$ , 如何把总收益 $v(N)$ 公平地分配给每个局中人?

不同应用场景对公平性的定义可能是不同的, 因此研究合作博弈论的一个核心问题就是研究不同分配策略的性质.

2. 分配策略

为方面描述, 我们先引入如下记号:

$x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ -- 分配向量(Allocation Vector), 局中人 $i$ 得到的收益为 $x_i$
$x(S)$ -- 联盟 $S$ 分配到的收益之和, 即 $x(S) = \sum_{i\in S}x_i$

下面我们介绍一些分配策略.

2.1 The Core

Core是分配向量的集合. $x\in$ core必须满足如下条件:

$x(N) = v(N)$
$x(S) \geq v(S), \forall S\subseteq N$ .

说明

条件1保证所有的收益都被分配了. (没人贪污)
如果任意一个联盟 $S\subset N$ 想要独立门户, 即, 不跟其他人( $N\backslash S$ )合作, 那么条件2保证 $S$ 得到的总收益不会超过他们当前分配到的收益之和. 换句话说, 条件2保证联盟 $S$ 没有动机独立门户. (不合作不会赚得更多)
core有可能是空集. 如果非空, 它包含的分配向量一般不是唯一的.

2.2 The Kernel^[1]

Kernel也是分配向量的集合, 它从谈判的角度来定义公平性. 考虑两个局中人 $i$ , $j$ , 给定分配向量 $x$ , 定义
$s_{ij}(x) = \max_{S}\left\{v(S) - x(S) \mid i\in S, j\not\in S, S\subseteq N\right\}.$

站在局中人 $i$ 的角度来看, 如果他不愿意跟 $j$ 合作, 最多能额外获得的收益即为 $s_{ij}(x)$ . 因此, 我们可以把 $s_{ij}(x)$ 理解为 $i$ 对 $j$ 的谈判能力. 如果 $s_{ij}(x) > s_{ji}(x)$ , 则说明 $i$ 相对 $j$ 有可能在谈判上有优势.

$x\in$ kernel必须满足如下条件:

$x(N) = v(N)$
$x_i \geq v(\{i\})$ , $\forall i\in N$
如果 $s_{ij}(x) > s_{ji}(x)$ , 那么 $x_j = v(\{j\})$ , $\forall i,j \in N, i\neq j$

说明

条件2确保局中人 $i$ 分配到的收益比自己"单干"不会少.
把满足条件1和条件2的分配向量称为imputation.
条件3说如果 $i$ 对 $j$ 谈判有优势, 那么 $j$ 对 $i$ 的谈判是免疫的(因为 $j$ 分配到的收益等于自己单干的收益, $j$ 即使不合作也没有损失). 简而言之, 条件3确保任意两个不同的局中人 $i$ 和 $j$ 在谈判地位上是平等的.
Kernel非空.

2.3 The Nucleolus^[2]

Nucleolus与前面的概念有所区别, 它是分配向量(不是集合). 我们先给出一些记号:

$e(S) = v(S) - x(S)$ , $\forall S\subseteq N$ -- 代表联盟 $S$ 不合作能额外获得的收益
$\theta(x) = (e(S))_{S\in 2^N}$ -- 是 $e(S)$ 构成的向量. 设 $\theta(x)$ 的分量按照从大到小的顺序排列

考虑两个分配向量 $x$ , $y$ , 我们说 $x$ 按词典序(lexicographically)比 $y$ 小, 当存在下标 $k$ 使得 $\theta_k(x) < \theta_k(y)$ 且 $\theta_i(x) = \theta_i(y)$ , $\forall i < k$ .

Nucleolus 是按字典序最小的imputation(满足kernel的条件1和条件2).

说明

Nucleolus的定义比较抽象. 我们用比较浅显的话来解释: nucleolus分配的思想是为了使最贫穷的局中人分配到的财富最大化, 其中"财富的多少"可以理解为公平性, 越贫穷则越不公平.
nucleolus $\in$ kernel
如果core非空, 则nucleolus $\in$ core

2.4 The Shapley Value^[3]

它的计算公式为:

$x_i =\sum_{S\subseteq N\backslash \{i\}}\frac{|S|!(|N|-|S|-1)!}{|N|!}\left(v(S\cup\{i\})-v(S)\right), \quad \forall i\in N.$

说明

给定联盟 $S$ , 局中人 $i$ 相对 $S$ 的边际贡献为 $v(S\cup\{i\}) - v(S)$ .
如果随机分配联盟, 那么 $\frac{|S|!(|N|-|S|-1)!}{|N|!}$ 是 $i$ 落入集合 $S$ 的概率.
综上所述, $x_i$ 为局中人 $i$ 边际贡献的期望.

3. 应用案例

下面我们列举几个在电商业务中可能应用的案例.

3.1 需求分配

假设有 $n$ 个仓库, 它们对同一个商品的需求分别为 $d_1, d_2, \ldots, d_n$ . 当前该商品的采购入库总量为 $E$ . 当 $E<d_1+d_2 + \ldots + d_n$ 时, 我们该如何分配需求?

为什么不建议按比例分配?

如果按比例分配, 当其中某个仓库 $A$ 的需求非常大时, 它分到大量商品, 而另外的仓库B可能只分到极少商品. 这样一来 $A$ 仓库可以销售较长时间, 相反 $B$ 仓库可能很快就发生缺货. 长此以往, 仓库B由于需求总量少, 可能长期无法满足, 因而一直缺货状态.

考虑什么分配方式?

详情可以参考《破产问题 (The Bankruptcy Problem)》

3.2 车辆装车

考虑把 $n$ 种商品运输到一个仓库中, 每种商品的单位体积分别是 $v_1, v_2, \ldots, v_n$ , 商品的运输量分别是 $s_1, s_2, \ldots, s_n$ . 当前车辆可运输的总体积为 $E$ . 当 $E < \sum_{i=1}^n v_is_i$ 时, 我们该如何分配商品的运输量?

(令 $d_i=v_is_i$ , 这个问题是不是就转化成上面的需求分配问题了?)

3.3 成本分摊

设客户购买了三件商品, 其售价如下表所示,

商品名称	售价
毛巾	20
手套	60
帽子	120

并使用了一张满150减20的优惠券, 因此他实际支付的订单费用是180元(不考虑运费). 那么平摊到每个商品的购买成本是多少?

为什么不建议按比例分配?

为了凑够优惠券的条件, 实际上只需要购买帽子和手套即可, 所以毛巾对凑单的实际贡献是0. 从这个角度来看, 毛巾不应该享受优惠, 它的购买成本应该按原价20计算比较合理.

考虑什么分配方式?

试试Shapley Value?

3.4 促销活动评估

考虑如下的场景: 某电商在同一天上线多个促销活动. 促销活动的集合记为 $N={1,2,\ldots, n}$ . 每个促销活动对应了一些商品(同一个商品允许参加多个活动). 对任意活动的组合 $S\subseteq N$ , 我们可以计算其参加活动商品的总销量 $v(S)$ . 因此, $v(N)$ 表示当天所有活动商品的总销量. 请问如何计算每个活动 $i$ 带来的销量 $x_i$ ?

考虑什么分配方式?

留给读者思考.

参考文献

M. Davis and M. Maschler. "The kernel of a cooperative game", Naval Research Logistics Quarterly, 12 (3): 223–259, 1965. ↩
D. Schmeidler. "The nucleolus of a characteristic function game", SIAM Journal on Applied Mathematics, 17 (6): 1163–1170, 1969. ↩
Lloyd S. Shapley. "A Value for n-person Games". In Kuhn, H. W.; Tucker, A. W. Contributions to the Theory of Games. Annals of Mathematical Studies. 28. Princeton University Press. pp. 307–317, 1953. ↩

博弈论在供应链决策中的应用