MIT-18.06-线性代数（第十讲）

第十讲 —— 四个基本子空间

本讲将讲解矩阵的四个基本子空间（subspace）。研究四个子空间及其关系是线性代数的核心内容。

四个基本子空间

$A$ 是 $m×n$ 矩阵，有

列空间 Column space $C(A)$ ，是 $\Bbb R^m$ 的子空间
零空间 Null space $N(A)$ ，是 $\Bbb R^n$ 的子空间
行空间 Row space $C(A^T)$ ，是 $\Bbb R^n$ 的子空间
左零空间 Left null space $N(A^T)$ ，是 $\Bbb R^m$ 的子空间

基和维度

列空间，它的一组基就是主列，维数是秩 $r$ 。
零空间，它的一组基就是其特解，维数是 $n-r$ 。
行空间，行空间与列空间有相同的维数，也是 $r$ 。
举例矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}$ ——> $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ ——> $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ ——> $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}=R$ ，化简后， $C(A) \neq C(R)$ ，列空间发生变化，而行变换不会对行空间产生影响。行空间的一组基，无论对 $A$ 还是对 $R$ 来说，都是行最简形式 $R$ 的前 $r$ 行。进一步思考，为什么 $A$ 的各行都是这个基的线性组合，通过各行消元的逆操作，可以从 $R$ 倒推回 $A$ ，因此 $A$ 各行是 $R$ 各行的线性组合，反之亦然。它们的行空间相同，它们的基也相同。行空间在行最简形式 $R$ 中以最佳形式表现出来。
左零空间，维数是 $m-r$ 。
如果有 $A^Ty=0$ ，那么向量 $y$ 就在 $A^T$ 的零空间中。进行转置，有 $y^TA^{TT}=y^TA=0$ ，即以 $y^T$ 对 $A$ 进行左乘，这也是把其称作左零空间的原因。采用高斯-若尔当（Gauss-Jordan）方法， $rref \left[\begin{array}{c|c} A_{m×n} & I_{m×m} \\ \end{array}\right]$ ——> $\left[\begin{array}{c|c} R_{m×n} & E_{m×m} \\ \end{array}\right]$ ，设消元矩阵为 $E$ ，则有 $EA=R$ 。而对于矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}$ 这个例子，基于上面的变换，可得 $E=\begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ ，即 $\begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ 。通过 $E$ ，可求左零空间的维数和基。根据左零空间的维数 $m-r$ ，即 $3-2=1$ ，得到左零空间是一维的。存在一个线性组合使这三行的结果为零行，这个线性组合可以确定左零空间的基。左零空间的基只有一个向量，它就在 $E$ 的最后一行，即 $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ 。

新向量空间

新向量空间 (new vector space) $M$ ，叫作所有的 $3×3$ 矩阵，把矩阵看作向量，每个 $3×3$ 矩阵都是一个“向量”。 $M$ 的子空间包括：所有的上三角矩阵，所有的对称矩阵，所有的对角矩阵。
对角矩阵子空间是前两者的交集，其维数为3，一组基为 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \\ \end{bmatrix}$ 。

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第十讲 —— 四个基本子空间

四个基本子空间

基和维度

新向量空间

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