学习中经常遇到一些小结论，但是它或其证明比较难记(懒得回想)，于是记录在这里。
Note 1
连续函数在某集合上的上确界等于它在该集合闭包上的上确界。即：
引理：设是连续函数，其定义域包含
，则
.
证明：由知，
.
由上确界定义，
由闭包定义，
由连续知，
于是
因此
由的任意性知，
.
综上，.
问题：设满足
,求证
.
注意这里的结论等号可以取到，如,当
时，
.
证法一：满足
,
注意到,我们有
由此可见
由的任意性，即得
.
证法二：由条件知，，利用引理可得：
.
Note 2
这是一些关于映射、满射、双射和集合包含关系的结论，来自《点集拓扑讲义》(第四版)(熊金城编)的1.5节习题。
结论1：设，则：
(1) .
(2) .
(3) 为满射当且仅当
.
结论2：设，则下列各条件等价：
(1) 是双射.
(2) .
(3) .
(4) .
其证明过程见下图。
映射结论1
映射结论2
该答案截取自《点集拓扑讲义》(第四版)(熊金城编)课后答案-道客巴巴。
Note 3
置换群的生成元。来自丘维声《近世代数》第1.3节内容及习题。
- 1.在
中，设
，对于任意
，有
2.(1)
；(2)
.
3.当
时，
.
证明过程见下图：
相关叙述
结论1证明
结论2证明
结论3证明
