一些结论

学习中经常遇到一些小结论，但是它或其证明比较难记~~(懒得回想)~~，于是记录在这里。

Note 1

连续函数在某集合上的上确界等于它在该集合闭包上的上确界。即：
引理：设 $f(x)$ 是连续函数，其定义域包含 $\overline A$ ，则 $\sup_{x\in A}f(x)=\sup_{x \in\overline A}f(x)$ .
证明：由 $A\subset\overline A$ 知， $\sup_{x\in A}f(x)\leq\sup_{x \in\overline A}f(x)$ .
由上确界定义， $\forall \epsilon>0,\exists x_0 \in \overline A,s.t.f(x_0)> \sup_{x \in \overline A}f(x)-\frac{\epsilon}{2}$
由闭包定义， $\exists x_n \in A (n=1,2,\dots) ,s.t.x_n \to x_0(n \to \infty)$
由 $f(x)$ 连续知， $\lim_{n \to \infty}f(x_n)=f(x_0)$
于是 $\exists N\in \mathbb{N},s.t.f(x_N)>f(x_0)-\frac{\epsilon}{2}>\sup_{x \in \overline A}f(x)-\epsilon$
因此 $\sup_{x\in A}f(x)>\sup_{x \in\overline A}f(x)-\epsilon$
由 $\epsilon$ 的任意性知， $\sup_{x\in A}f(x)\geq\sup_{x \in\overline A}f(x)$ .
综上， $\sup_{x\in A}f(x)=\sup_{x \in\overline A}f(x)$ .
问题：设 $A\in R^{m\times n},\forall x\in R^n$ 满足 $\|x\|<\eta,有\|Ax\|<\xi$ ,求证 $\|A\|\leq\eta^{-1}\xi$ .
注意这里的结论等号可以取到，如 $m=n=1,A=3,\eta=2,\xi=6$ ,当 $|x|<2$ 时， $|Ax|<6$ .
证法一： $\forall x\in R^n$ 满足 $\|x\|=1,\forall \epsilon>0$ ,
注意到 $\|\frac{\eta}{1+\epsilon}x\|<\eta$ ,我们有
$\frac{\eta}{1+\epsilon}\|Ax\|=\|A(\frac{\eta}{1+\epsilon}x)\|<\xi,\|Ax\|<\eta^{-1}\xi (1+\epsilon),$
由此可见 $\|A\|\leq\eta^{-1}\xi (1+\epsilon)$
由 $\epsilon$ 的任意性，即得 $\|A\|\leq\eta^{-1}\xi$ .
证法二：由条件知， $\sup_{\|x\|<\eta}\|Ax\|\leq\xi$ ，利用引理可得：
$\|A\|=\sup_{\|x\|\leq1}\|Ax\|=\sup_{\|\frac{x}{\eta}\|\leq1}\|A\frac{x}{\eta}\|=\sup_{\|x\|\leq\eta}\frac{\|Ax\|}{\eta}=\eta^{-1}\sup_{\|x\|\leq\eta}\|Ax\|=\eta^{-1}\sup_{\|x\|<\eta}\|Ax\|\leq\eta^{-1}\xi$ .

Note 2

这是一些关于映射、满射、双射和集合包含关系的结论，来自《点集拓扑讲义》(第四版)(熊金城编)的1.5节习题。
结论1：设 $f:X\to Y$ ，则：
(1) $\forall A\subset X,A\subset f^{-1}(f(A))$ .
(2) $\forall B\subset Y,B\supset f(f^{-1}(B))$ .
(3) $f$ 为满射当且仅当 $\forall B\subset Y,f(f^{-1}(B))=B$ .
结论2：设 $f:X\to Y$ ，则下列各条件等价：
(1) $f$ 是双射.
(2) $\forall A,B\subset X,f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ .
(3) $\forall A\subset X,A=f^{-1}(f(A))$ .
(4) $\forall A\subset X,f(X-A)=f(X)-f(A)$ .
其证明过程见下图。

映射结论1

映射结论2

该答案截取自《点集拓扑讲义》(第四版)(熊金城编)课后答案-道客巴巴。

Note 3

置换群的生成元。来自丘维声《近世代数》第1.3节内容及习题。

1.在 $S_n$ 中，设 $\sigma=(i_1 i_2 \cdots i_r)$ ，对于任意 $\tau\in S_n$ ，有

$\tau\sigma\tau^{-1}=(\tau(i_1)\quad\tau(i_2)\quad\cdots\quad\tau(i_r))$

2.(1) $S_n=\langle(12),(23),\cdots,(n-1,n)\rangle$ ；(2) $S_n=\langle(12),(12\cdots n)\rangle$ .
3.当 $n\geq 3$ 时， $A_n=\langle(123),(124),\cdots,(12n)\rangle$ .

证明过程见下图：

Note 1

Note 2

Note 3

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