非负整数十进制与二进制之间的转换

  本文将简单的讨论非负整数的N进制与十进制之间如何进行转换。

一、十进制与二进制的表示

  先来看十进制数的表示，数n的十进制可以分解为n = d[0] + d[1] * 10 + d2 * 10^2 + …… + d[k] * 10^k，其中0 <= d[i] < 10，例如12345 = 5 + 4 * 10 + 3 * 10^2 + 2 * 10^3 + 1 * 10^4，也就是d[0] = 5, d[1] = 4, d[2] = 3, d[3] = 2, d[4] = 1，数n的十进制表示为d[k]d[k-1]……d[1]d[0]，对于上述例子即12345。

  同样地，数m的二进制可以表示为m = b[0] + b[1] * 2^1 + …… + b[k] * 2^k，其中0 <= b[i] < 2，例如7 = 1 + 1 * 2^1 + 1 * 2^2，也就是b[0] = 1, b[1] = 1, b[2] = 1，数m的二进制表示为b[k]b[k-1]……b[1]b[0]，对于上述例子即111。

二、十进制转换成二进制

  思考一下，对于一个数，我们是如何求它十进制对应的每一位？例如n = 9527，我们通过n % 10求得个位上的数是9527 % 10 = 7，然后令n = n / 10（取整除部分）,重复n % 10和n = n / 10这个过程即可得到十位、百位、千位的数字分别为2、5、7。把每一位合起来就是该数的十进制表示。

  同样的，对于一个数，我们可以通过上述方法求它二进制对应的每一位。假设对于数字m，通过m % 2即可求得它的个位，然后令m = m / 2，继续上述过程即可求得十位、百位、……等等。举个例子来说m = 11，那么个位为m % 2 = 1，令m = m / 2 = 11 / 2 = 5，那么十位为m % 2 = 5 % 2 = 1，即十位为1，继续令m = m / 2 = 5 / 2 = 2，那么百位为m % 2 = 2 % 2 = 0,即百位为0，继续令m = m / 2 = 2 / 2 = 1，那么千位为m % 2 = 1 % 2 = 1，即千位为1，此时m = m / 2 = 1 / 2 = 0，到此转换结束，因此最终的二进制表示为1011。

  C++示例代码如下：

// Conver.h
#include <string>
namespace Convert {
    std::string DecimalToBinary(unsigned int d);
};

// Conver.cpp
#include <string>
namespace Convert {
    std::string DecimalToBinary(unsigned int d)
    {
        if (d == 0) {
            return "0";
        }

        std::string result;
        while (d > 0) {
            result += ('0' + d % 2);
            d /= 2;
        }

        std::reverse(result.begin(), result.end());
        return result;
    }

};

// test.cpp
#include <iostream>
#include "Convert.h"
int main(int argc, char **argv)
{
    std::cout << "0 to binary is: " << Convert::DecimalToBinary(0) << std::endl;
    std::cout << "1 to binary is: " << Convert::DecimalToBinary(1) << std::endl;
    std::cout << "2 to binary is: " << Convert::DecimalToBinary(2) << std::endl;
    std::cout << "10 to binary is: " << Convert::DecimalToBinary(10) << std::endl;
    std::cout << "16 to binary is: " << Convert::DecimalToBinary(16) << std::endl;
    std::cout << "9527 to binary is: " << Convert::DecimalToBinary(9527) << std::endl;
    return 0;
}

// 执行结果
0 to binary is: 0
1 to binary is: 1
2 to binary is: 10
10 to binary is: 1010
16 to binary is: 10000
9527 to binary is: 10010100110111

三、二进制转换为十进制

  思考一下，对于十进制表示的数n = d[3]d[2]d[1]d[0]，我们如何求得它的结果？很显然是：(((d[3] * 10) + d[2]) * 10 + d[1]) * 10) + d[0]。那么对于二进制表示的数m = b[3]b[2]b[1]b[0]，同样可得到它的结果为(((b[3] * 10) + b[2]) * 10 + b[1]) * 10) + b[0]。因为在我们当前的运算体系中，都是以十进制来表示的，所以对于(((d[3] * 10) + d[2]) * 10 + d[1]) * 10) + d[0]和(((b[3] * 10) + b[2]) * 10 + b[1]) * 10) + b[0]得到的都是以十进制表示的结果。那么对于二进制转换为十进制，C++代码如下：

// Conver.h
#include <string>
namespace Convert {
    unsigned int BinaryToDecimal(const std::string &b);
};

// Conver.cpp
#include <string>
namespace Convert {
    unsigned int BinaryToDecimal(const std::string &b)
    {
        if (b.size() == 0) {
            return 0;
        }

        unsigned int result = 0;
        for (const auto &c : b) {
            result = result * 2 + (c - '0');
        }

        return result;
    }
};

// test.cpp
#include <iostream>
#include "Convert.h"
int main(int argc, char **argv)
{
    std::cout << "null to decimal is: " << Convert::BinaryToDecimal("") << std::endl;
    std::cout << "0 to decimal is: " << Convert::BinaryToDecimal("0") << std::endl;
    std::cout << "1 to decimal is: " << Convert::BinaryToDecimal("1") << std::endl;
    std::cout << "10 to decimal is: " << Convert::BinaryToDecimal("10") << std::endl;
    std::cout << "1000 to decimal is: " << Convert::BinaryToDecimal("1000") << std::endl;
    std::cout << "1100101 to decimal is: " << Convert::BinaryToDecimal("1100101") << std::endl;
    return 0;
}

// 执行结果
null to decimal is: 0
0 to decimal is: 0
1 to decimal is: 1
10 to decimal is: 2
1000 to decimal is: 8
1100101 to decimal is: 101

四、数的任意进制表示

  在前面的描述中，是把数和数的进制表示做了区分的。数更像是一个客观存在的概念，而数的进制表示则只是这个数在某个进制上的外在表现形式，不管是以何种进制来表示这个数，数的大小都是客观不变且一致的。

  那么对于一个数m的N进制我们该如何表示？按照本文的第一节，我们可以写成m = d[0] + d[1] * N^1 + d[2] * N^2 + …… + d[k] * N^k；因此，d[k][d[k-1]……d[1]d[0]即为数m的N进制表示（注意要满足0 <= d[i] < N）。

  • 将十进制转换成N进制数。我们可以通过如下两步来得到数m的N进制表示：
  1. 初始时i = 0；
  2. 令d[i] = m % N；
  3. 令m = m / N；
  4. 令i = i + 1，并重复步骤2~步骤4，直到m == 0；
  5. d[k]d[k-1]……d[1]d[0]即为m的N进制表示。

  为了演示简单，此处假设2 <= N <= 10，C++代码如下：

// Conver.h
#include <string>
namespace Convert {
    std::string DecimalToBaseN(unsigned int d, int convertBase);
};

// Conver.cpp
#include <string>
namespace Convert {
    std::string DecimalToBaseN(unsigned int d, int convertBase)
    {
        if (d == 0 || convertBase < 2 || convertBase > 10) {
            return "0";
        }

        std::string result;
        while (d > 0) {
            result += ('0' + d % convertBase);
            d /= convertBase;
        }

        std::reverse(result.begin(), result.end());
        return result;
    }
};

// test.cpp
#include <iostream>
#include "Convert.h"
int main(int argc, char **argv)
{
    std::cout << "15 to base-2 is: " << Convert::DecimalToBaseN(15, 2) << std::endl;
    std::cout << "15 to base-3 is: " << Convert::DecimalToBaseN(15, 3) << std::endl;
    std::cout << "15 to base-4 is: " << Convert::DecimalToBaseN(15, 4) << std::endl;
    std::cout << "15 to base-5 is: " << Convert::DecimalToBaseN(15, 5) << std::endl;
    std::cout << "15 to base-6 is: " << Convert::DecimalToBaseN(15, 6) << std::endl;
    std::cout << "15 to base-7 is: " << Convert::DecimalToBaseN(15, 7) << std::endl;
    std::cout << "15 to base-8 is: " << Convert::DecimalToBaseN(15, 8) << std::endl;
    std::cout << "15 to base-9 is: " << Convert::DecimalToBaseN(15, 9) << std::endl;
    std::cout << "15 to base-10 is: " << Convert::DecimalToBaseN(15, 10) << std::endl;
    return 0;
}

// 执行结果
15 to base-2 is: 1111
15 to base-3 is: 120
15 to base-4 is: 33
15 to base-5 is: 30
15 to base-6 is: 23
15 to base-7 is: 21
15 to base-8 is: 17
15 to base-9 is: 16
15 to base-10 is: 15

 

  • 将N进制转换成十进制，可以通过如下步骤来得到：
  1. 假设N进制的数表示为d[k]d[k-1]……d[1]d[0]，初始时i = k，转换结果存储在result中；
  2. result = result * N + (d[i] - '0')；
  3. 令i = i - 1，重复步骤2~步骤3，当i < 0时，转换终止。
  4. result即为转换后的结果。

  同样也假设2 <= N <= 10，C++代码如下：

// Conver.h
#include <string>
namespace Convert {
    unsigned int BaseNToDecimal(const std::string &bn, int convertBase);
};

// Conver.cpp
#include <string>
namespace Convert {
    unsigned int BaseNToDecimal(const std::string &bn, int convertBase)
    {
        if (bn.size() == 0) {
            return 0;
        }

        unsigned int result = 0;
        for (const auto &c : bn) {
            result = result * convertBase + (c - '0');
        }

        return result;
    }
};

// test.cpp
#include <iostream>
#include "Convert.h"
int main(int argc, char **argv)
{
    std::cout << "Base-2 1111 to decimal is: " << Convert::BaseNToDecimal("1111", 2) << std::endl;
    std::cout << "Base-3 120 to decimal is: " << Convert::BaseNToDecimal("120", 3) << std::endl;
    std::cout << "Base-4 33 to decimal is: " << Convert::BaseNToDecimal("33", 4) << std::endl;
    std::cout << "Base-5 30 to decimal is: " << Convert::BaseNToDecimal("30", 5) << std::endl;
    std::cout << "Base-6 23 to decimal is: " << Convert::BaseNToDecimal("23", 6) << std::endl;
    std::cout << "Base-7 21 to decimal is: " << Convert::BaseNToDecimal("21", 7) << std::endl;
    std::cout << "Base-8 17 to decimal is: " << Convert::BaseNToDecimal("17", 8) << std::endl;
    std::cout << "Base-9 16 to decimal is: " << Convert::BaseNToDecimal("16", 9) << std::endl;
    std::cout << "Base-10 15 to decimal is: " << Convert::BaseNToDecimal("15", 10) << std::endl;
    return 0;
}

// 执行结果
Base-2 1111 to decimal is: 15
Base-3 120 to decimal is: 15
Base-4 33 to decimal is: 15
Base-5 30 to decimal is: 15
Base-6 23 to decimal is: 15
Base-7 21 to decimal is: 15
Base-8 17 to decimal is: 15
Base-9 16 to decimal is: 15
Base-10 15 to decimal is: 15

五、结束

  前面讨论的非负整数的10进制以内的N进制与10进制互相转换，有几个扩展问题可以思考一下：

  • 对于负整数，转换过程有何区别？
  • 对于大于10进制的转换，该如何处理？
  • 对于N进制与M进制互相转换，该如何处理？
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