第八章 区间估计

参考书目为安德森的《商务与经济统计》，以下为个人的学习总结，如果有错误欢迎指正。有需要本书pdf的，链接在本文末尾。（仅限个人学习使用，请勿牟利）

第八章 区间估计

由于点估计量一般和总体参数有差异，所以经常在点估计上加减一个边际误差的值来计算区间估计。
区间估计：点估计\pm 边际误差

8.1 总体均值的区间估计：\sigma已知

计算边际误差，需要利用总体标准差\sigma或者样本标准差s

8.1.1 边际误差和区间估计

在Lloyd公司的例子中，每周要调查100名顾客的消费额，其中\bar x=82美元；总体标准差\sigma=20

根据公式：\sigma_{\bar x}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{20}{\sqrt{100}}=2

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通过查表，95%的值在均值左右\pm 1.96个标准差以内。所以\bar x的所有值有95%落在总体均值\mu左右\pm 3.92以内。

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如何理解这个95%：我们相信有95%的把握，这个区间内包含总体均值。这个区间称作是在95%置信水平（confidence level）下建立的，其中0.95称作置信系数（confidence coefficient），区间称作95%置信区间（confidence interval）

总体均值的区间估计：\sigma已知
\bar x \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
1-\alpha为置信系数，z_{\alpha/2}表示标准正态概率分布上侧面积为\alpha/2时的z值。

比如构造95%的置信区间，那么置信系数1-\alpha=0.95,\alpha=0.05,\alpha/2=0.025
那么Lloyd公司的情况：\bar x=82,\sigma=20,n=100
82\pm 1.96\frac{20}{\sqrt{100}} 82\pm3.92

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8.2 总体均值的区间估计：\sigma未知

t分布：是由一类相似的概率分布组成的分布族。每个t分布都对应一个自由度，且自由度增大，t分布的变异幅度减小，与标准正态分布更相似。t分布的均值为0.

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我们还可以根据自由度和不同的上侧面积来确定概率：
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当t无穷大时，面积和标准正态分布一致。

8.2.1 边际误差和区间估计

总体均值的区间估计：
\bar x \pm t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}

s为样本标准差，1-\alpha为置信系数，自由度为n-1，上侧面积\alpha /2
自由度以后再说

8.2.2 应用中的建议

总体服从正态分布，则上述的置信区间是精确的，如果不服从，则为近似的。当总体分布有严重偏斜或包含异常点时建议n到50。

8.2.3 利用小样本

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这个小样本从直方图发现，并不能支持我们得出总体服从正态分布的结论，但是我们也没有发现任何的偏斜或者异常点。因此，我们可以对这个小样本以t分布为依据进行区间估计。

8.2.4 区间估计方法小结

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8.3 样本容量的确定

前面知道边际误差，我们令E为我们希望达到的边际误差：E=z_{\alpha /2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

总体均值区间估计中的样本容量：
n=\frac{(z_{\alpha /2})^2\cdot \sigma^2}{E^2}

我们可以确定一个置信水平，比如95%，那么z_{\alpha /2}=z_{0.025}=1.96
再选一个我们期望的E（边际误差），即可计算我们需要多少样本容量。

当然了，前提是\sigma已知，对于未知的，我们可以用\sigma的计划值，初始值。

  • 过往研究对总体标准差的估计值作为\sigma的计划值
  • 选取一个初始样本的标准差作为\sigma的计划值
  • 可以用极差除以4粗略的作为\sigma的计划值

8.4 总体比率

总体比率的区间估计：
\bar p \pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\bar p(1-\bar p)}{n}}
z_{\alpha /2}为标准正态分布上侧面积为\alpha /2时的z值。

8.4.1 样本容量的确定

同样令E为边际误差：E=z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\bar p(1-\bar p)}{n}}

总体比率区间估计的样本容量：(由于\bar p未知，用p^*来作为计划值)
n=\frac{(z_{\alpha /2})^2p^*(1-p^*)}{E^2}

同样这里的p^*可以用下面的方法来确定一个计划值：

  • 用以往类似样本的比率作为p^*的计划值
  • 选一个初始样本的比率作为p^*的计划值
  • 判断或最优猜测作为p^*的计划值
  • 都不知道，则p^*=0.5，因为此时p^*(1-p^*)取最大值0.25，让样本尽可能大。

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