问题源于2021-2022新密市七年级上学期期末摸底考试。

其中，第（1）个问题由24–（–6）即可得结果为30；第（2）个问题由–6+3×3即可得结果为3；第（3）个问题，过程如下：

在第（4）个问题中，利用线段之间的倍数关系定义了“猫眼”这个新定义。由于是AP、BP和AB这三条线段（其中点P在线段AB上），其中一条线段的长度是另外一条的三倍，所以就涉及到分四种情况进行分类讨论。具体的四种情况可画图和分析解答如下：（也可让点P从点A运动至点B，在动态运动的过程中，发现有4个时刻是满足“猫眼”的定义的。）

在学习这一部分的内容时，有另外一种类型就是关于角的新定义，并也需进行分类讨论。在复习的过程中，将这两个问题放之于前后，以对比的方式进行学习，实现数学思维的迁移与升华。问题如下（源于2022秋必刷.郑州名师精研预测卷一）：

其中，第（1）问，旋转的过程中，当旋转角在0～90°之间，则有∠AOC+∠BOC=90°（如下图1）；当旋转角在90°～180°之间，则有∠AOC-∠BOC=90°（如下图2）。

第（2）问，运动时间为9秒时，旋转的角度为15°×9=135°，我们可以画图如下：

此时，易得OD平分∠AOB，OB平分∠DOC。

第（3）问的①，由于∠AOB=2∠BOC，所以OC是和谐线。而②在旋转过程中OC为和谐线时，求t的值。即在旋转的过程中，满足∠AOB，∠AOC，∠BOC三个角中，其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍时即可。可以从动态旋转（顺时针旋转180°）的过程去研究，由动到静，则可发现有5个时刻可满足和谐线的定义。画图和分析解答如下：

无论是线段中定义的“猫眼”，还是角中定义的“和谐线”，其共同之处就在于，三条线段/三个角，三选二运用一定的倍数的关系进行定义。由于谁是谁的几倍不确定，故而涉及到分类讨论。具体有几种情况，取决于点在运动的过程中/线在旋转的过程中，有几个时刻满足其倍数关系。画出图形（可分别画图，在不易引起混淆的情况下也可画在一个图形中），写出做题大框架（每种分类的条件），在每种情况下，分别各个击破求值即可。