微积分学习笔记-黎曼和和定积分

黎曼和

$\sum _{k=1}^n a_k =a_1 + a_2 = a_3 + ... + a_{n-1} + a_n$

定积分作为黎曼和的极限

设f是定义在闭区间[a, b]上的一个函数，对于[a, b] 的任意划分P, 设 $c_k$ 是在子区间 $[x_{k-1}, x_k]$ 上任意选取的数。
如果存在一个数 $I$ , 使得不论划分P怎样和 $c_k$ 如何选取，都有
$\lim_{\left\| k = 1\right \|}^{n}f(c_k)\triangle x_k = I$
则f在 $[a, b]$ 上数可积的，I是f在区间 $[a, b]$ 上的定积分。

定理1 定积分的存在性

所有连续函数是可积的，如果一个函数f在区间 $[a, b]$ 上是连续的，则它在 $[a, b]$ 上的定积分存在。

$\lim _{n \to \infty } f(c_k) \triangle x = \int _{a}^{b} f(x) dx$

例1. 分割区间 $[-1, 3]$ 为等长 $\triangle x = \frac{4}{n}$ 的 n个子区间。用 $m_k$ 表示第k个子区间的中点，把极限 $\lim_{n \to \infty}\sum _{k=1}^n (3(m_k)^2 - 2m_k + 5)\triangle x$ 表示成积分。

$\lim_{n \to \infty}\sum _{k=1}^n (3(m_k)^2 - 2m_k + 5)\triangle x = \int _{-1}^{3}(3x^2 - 2x + 5) dx$

定义曲线下的面积

如果 $y = f(x)$ 是闭区间 $[a, b]$ 上的非负及可积的函数，则从a到b的曲线 $y = f(x)$ 下的面积是从a到b，f的积分
$A = \int _{a}^{b} f(x) dx$

例2. 求值 $\int _{a}^{b}x dx, 0 < a < b$

解: $\int_{a}^{b} x dx = \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2}$

定义平均值

若f在 $[a, b]$ 上可积，则它在 $[a, b]$ 上的平均值是
$av(f) = \frac{1}{b-a} \int _{a}^{b} f(x) dx$

例3 求 $f(x) = \sqrt {4 - x^2} dx$ 在[-2, 2]上的平均值。

f(x)是以原点为中心，半径为2的上半圆，面积为 $\frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi$ 。
$avg(f) = \frac{1}{2-(-2)} * 2\pi = \frac{\pi}{2}$

定积分法则

积分的次序: $\int _{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx$
零: $\int_{a}^{a} f(x) dx = 0$
常倍数: $\int_{a}^{b} kf(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx$
$\int_{a}^{b} -f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx$
和与差: $\int_{a}^{b} f(x) \pm g(x)dx = \int_{a}^{b} f(x)dx \pm \int_{a}^{b} g(x)dx$
可加性: $\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$
最大-最小不等式: 若max和min f分别是f在 $[a, b]$ 上的最大和最小值，则 $min_f . (b-a)\le \int_{a}^{b} f(x) dx \le max_ f . (b - a)$
控制: 在 $[a, b]$ 上 $f(x) \ge g(x) \rightarrow \int_{a}^{b} f(x) dx \ge \int_{a}^b g(x) dx$
在 $[a, b]$ 上 $f(x) \ge 0 \rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx \geq 0$

例4. 假定 $\int _{-1}^{1} f(x) dx = 5$ , $\int_{1}^{4}f(x)dx = -2$ , $\int_{-1}^{1}h(x)dx = 7$ .则
1. $\int_{4}^{1} f(x) dx = -\int_{1}^{4} f(x) dx = 2$

$\int _{-1}^{1}[2f(x) + 3h(x)] dx = 2\int _{-1}^{1}f(x)dx + 3\int _{-1}^{1}h(x)dx = 31$
$\int _{-1}^{4} f(x) dx = \int _{-1}^{1}f(x)dx + \int_{1}^{4}f(x)dx=3$