第十章二流和四流理论

10.1 Kubelka-Munk的二流理论

图10.1 二流近似示意图

所谓二流理论，也即只考虑两个方向的能流 $F_+$ 和 $F_-$ 。

10.2 二流理论中的系数 $K$ 和 $S$

$K$ 是吸收系数， $S$ 是散射系数。这两个系数并不是常数，而是取决于辐射的角分布。但在假设完全漫射且近似各向同性的情况下，有：

$\begin{aligned} K &=2\left(1-W_{0}\right)=2\left(\sigma_{\mathrm{a}} / \sigma_{\mathrm{t}}\right) \\ S &=W_{0}-\sum_{n=1 ; n \text { odd }}^{\infty} W_{n} C_{n}{ }^{2} \end{aligned}$

其中 $C_n^2$ 的取值为 $1/4,1/64,1/256,\dots$ 。需要注意第二个式子的结果与实验值 $S=\frac{3}{4}W_0-\frac{1}{4}W_1$ 有一些不同。

10.3 四流理论

图10.4 四流近似示意图

二流近似只能描述漫射，为了描述准直波束，需要增加两项： $F_{c+}$ 和 $F_{c-}$ ，这样就得到了四流近似：

解为：

其中：

边界条件为：

附录 10.A

利用辐射传输理论推导二流近似中的系数 $K$ 和 $S$ 。

首先将辐射传输方程写成如下形式：

$\mu \frac{d I(\tau, \mu)}{d \tau}=-I(\tau, \mu)+\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} p_{0}\left(\mu, \mu^{\prime}\right) I\left(\tau, \mu^{\prime}\right) d \mu^{\prime}$

将正负方向的比强度分别考虑，结合两个方向的边界条件就可以得到 $K$ 和 $S$ 的表达式。

$\begin{aligned} \left(K+S^{\prime}\right)_{1} &=\frac{\int_{0}^{1} I_{+}(\tau, \mu) d \mu-\frac{1}{2} \int_{0}^{1} d \mu \int_{0}^{1} d \mu^{\prime} p_{0}\left(\mu, \mu^{\prime}\right) I_{+}\left(\tau, \mu^{\prime}\right)}{\int_{0}^{1} I_{+}(\tau, \mu) \mu d \mu} \\ S_{1}^{\prime} &=\frac{\frac{1}{2} \int_{0}^{1} d \mu \int_{-1}^{0} d \mu^{\prime} p_{0}\left(\mu, \mu^{\prime}\right) I_{-}\left(\tau, \mu^{\prime}\right)}{-\int_{-1}^{0} I_{-}(\tau, \mu) \mu d \mu} \\ \left(K+S^{\prime}\right)_{2} &=\frac{\int_{-1}^{0} I_{-} d \mu-\frac{1}{2} \int_{-1}^{0} d \mu \int_{-1}^{0} d \mu^{\prime} p_{0}\left(\mu, \mu^{\prime}\right) I_{-}}{-\int_{-1}^{0} I_{-} \mu d \mu} \\ S_{2}^{\prime} &=\frac{\frac{1}{2} \int_{-1}^{0} d \mu \int_{0}^{1} d \mu^{\prime} p_{0}\left(\mu, \mu^{\prime}\right) I_{+}}{\int_{0}^{1} I_{+} \mu d \mu} \end{aligned}$

可以看出这些系数是取决于角分布的。但在完全漫射的情形下， $I_+$ 和 $I_-$ 只与 $\tau$ 有关，此时可以得到：

$\begin{aligned} \left(K+S^{\prime}\right)_{1}-S_{1}^{\prime} &=K=2\left(1-W_{0}\right) \\ S_{1}^{\prime}=S_{2}^{\prime} &=S=\int_{-1}^{0} d \mu \int_{0}^{1} d \mu^{\prime} p_{0}\left(\mu, \mu^{\prime}\right) \end{aligned}$

对第二个式子进一步展开就可以得到前面第二节中的结果。与实验值的偏离一部分是因为 $n>1$ 的那些项，另一部分是因为这里假设了 $I$ 与 $\mu$ 完全无关，而实际上更准确的表达是：

$I(\tau, \mu)=I_{0}(\tau)+(3 / 4 \pi)\left[F_{+}(\tau)-F_{-}(\tau)\right] \mu$