矩阵分析 (五) 矩阵的分解

矩阵的对角分解

  • 定理5.1 A为正规矩阵的充要条件是：存在酉矩阵Q,使得：

Q^{H}AQ= \Lambda ，\Lambda =diag(\lambda_{1}，\lambda_{2}，\cdot，\lambda_{n})

  • 例1 设A是n阶正规矩阵，其特征值\lambda_{1}，\lambda_{2}，\cdots，\lambda_{n}，则：
  1. A是厄米特矩阵的充要条件是：A的特征值全是实数；
  2. A是反厄米特矩阵的充要条件是：A的特征值为零或纯虚数；
  3. A是酉矩阵的充要条件是：A的每个特征值\lambda_{i}的模|\lambda_{i}|=1。

矩阵的三角分解

  • 定义5.1：设A \in C^{n \times n}，如果存在下三角矩阵L \in C^{n \times n}和上三角矩阵R \in C^{n \times n}，使得A =LR，则称A可以作三角分解。
  • 定理5.2：设可逆矩阵A \in C^{n \times n}，则A可以作三角分解的充要条件是A的所有顺序主子式不为零。
  • 定义5.2：设A \in C^{n \times n}，

  如果A可以分解为A =LR，其中L是对角线元素为1的下三角矩阵（称为单位下三角矩阵），R为上三角矩阵，则称之为A的Doolittle分解。

  如果A可以分解成A=LR，R是对角线元素为1的上三角矩阵(称为单位上三角矩阵)，则称之为A的Crout分解。

  如果A可以分解成A=LDR，其中L，D，R分别是单位下三角矩阵、对角矩阵、单位上三角矩阵，则称之为A的LDR分解。

  • 如果A \in C^{n \times n}是正定的厄米特矩阵，则存在下三角矩阵G使得A=GG^{H}，称之为A的Cholesky分解。

矩阵的满秩分解

  这一节讨论一种将矩阵分解为列满秩与行满秩矩阵的乘积。

  • 定义5.3：设A \in C^{n \times n}，如果存在F \in C^{n \times r}_{r}，G \in C^{r \times n}_{r}，使得A=FG，则称为矩阵A的满秩分解。
  • 定理5.3：设A \in C^{n \times n}，则A满秩分解总是存在的。

舒尔定理与矩阵的QR分解

  舒尔(Schur)定理在理论上很重要，它是很多重要定理的出发点。而矩阵的QR分解在数值化代数中起着重要的作用，是计算矩阵特征值以及求解线性方程组的重要工具。

  • 定理5.4：(舒尔定理)若A \in C^{n \times n}，则存在酉矩阵U，使得：

U^{H}AU=T

  这里T是上三角矩阵，T的对角线上的元素都是A的特征值。

  • 定理5.5：(QR分解定理)设A为n阶复矩阵，则存在酉矩阵Q及上三角矩阵R，使得：

A=QR

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