进位制 是一种记数方式，亦称进位计数法或位值计数法。利用这种记数法，可以使用 有限种数字符号 来表示所有的数值。

生活中最常用的进位制是 十进制，这种进位制通常使用 10 个阿拉伯数字（即 0 ~ 9）进行记数。

一种 进位制 中可以使用的数字符号的数目称为这种 进位制 的 基数 或 底数。若一个进位制的 基数 为 n ，即可称之为 n 进位制，简称 n 进制。

一般说来，b 进制 有 b 个数字，如果 a3、a2、a1、a0 是其中四个数字，那么就有

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二进制

在数学和数字电路中，二进制（binary）数是指用二进制记数系统，即以 2 为基数的记数系统表示的数字。这一系统中，通常用两个不同的符号 0（代表零）和 1（代表一）来表示。

bit （比特）这个词被创造出来代表 binary digit，它的确是新造的和计算机相关的最可爱的词之一。当然，bit 有其通常的意义：”一小部分，程度很低或数量很少“。这个意义用来表示比特是非常精确的，因为 1 比特——一个二进制数字位——确实是一个非常小的量。

在计算机时代，bit 已经被看作是组成信息块的基本单位。

我们下面以 3 bit 的二进制数来对一些术语进行讲解。在此之前我们先来看一下 3 bit 的二进制数有多少种排列方式。

1 bit 二进制数的排列组合有 2 种，2 bit 二进制数的排列组合有 2 * 2 = 4 种，3 bit 二进制数的排列组合有 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8 种。

由此我们可能推论 n bit 的二进制数的排列组合有 2^n 种。

编码

首先，我们可以对二进制数和十进制数做个简单的映射，直接把二进制数转换为十进制数。

这样的话，3 bit 就可以用来表示为 0 ~ 7 范围的数字（7 = (2^3)-1）。

简单推理下即可知道 n bit 可以用来表示为 0 ~ (2^n)-1 范围的数字。

负数

那么我们怎么用二进制数来表示负数呢？那就需要对样本空间做不同的映射关系。

我们需要让正数和负数的分布的均匀一点，因为存在 0，所以会有以下两种情况：

• 第一种情况：正数比负数多一个，则 3 bit 可以用来表示 -3 ~ 4 范围的数字。

• 第二种情况：负数比正数多一个，则 3 bit 可以用来表示 -4 ~ 3 范围的数字。

可以发现，第二种情况中的负数首位都为 1，正数的首位都为 0。所以可以通过首位的值就能分辨出是正数还是负数。这个简单，所以我们选择这种。

那么我们如何通过一个映射函数对其进行映射呢？

我们也针对两种情况做单独处理。

• 首位为 0 的正数，我们发现其十进制就是对应的值，所以直接把二进制数转换为十进制即可。

• 首位为 1 的负数，需要对其进行简单分析。

通过仔细观察，我们可以发现如下规律：

• 4 - (-4) = 8
• 5 - (-3) = 8
• 6 - (-2) = 8
• 7 - (-1) = 8

推理可得：

• 8 - 4 = 4
• 8 - 5 = 3
• 8 - 6 = 2
• 8 - 7 = 1

在 3 bit二进制数中，8 可以用 1000 = 111 + 1 表示，所以二进制计算规则如下所示：

8 - 4 = 1000 - 100 = 111 + 1 - 100 = 111 - 100 + 1 = 011 + 1 = 100
8 - 5 = 1000 - 101 = 111 + 1 - 101 = 111 - 101 + 1 = 010 + 1 = 011
8 - 6 = 1000 - 110 = 111 + 1 - 110 = 111 - 110 + 1 = 001 + 1 = 010
8 - 7 = 1000 - 111 = 111 + 1 - 111 = 111 - 111 + 1 = 000 + 1 = 001

由此，我们就知道如何计算首位为 1 的二进制表示的负数是多少了。在这里涉及了两个概念：

• 反码：对首位为 1 的二进制数，取反即可得到其反码。
• 补码：在反码的基础上加一。

浮点数

浮点数也是通过某种映射关系，把二进制数映射根据某个数学函数映射为对应的浮点数。

具体细节可以自行百度！！！

字符

ASCII 字符同样也是通过某种映射关系，只是这里的映射关系不是某个数学函数维护，而是通过一张字符集映射表来维护。

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Unicode 字符同样也是通过一张字符集映射表来维护其映射关系。

扩展阅读

一进制

以 1 为基底的记数系统是一个代表自然数最简单的记数系统：要表示一个自然数 N，我们任意的先选用一个符号代表 一，然后将之 重复 N 次。

举例来说，使用 |（一个计数符号）作为符号，数字六 则以 |||||| 表示。用手指计算的方法也是一种一进制系统。

在一进制的世界中，1 + 1 = 11 等式成立。

在汉字文化圈，常用正字记数。因为一个 正 字刚好五笔，两个 正 字就表示 10，很符合我们我们的生活习惯。

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三进制计算

三进制计算机，是以三进法数字系统为基础而发展的计算机。

曾经被莫斯科大学科研人员用于计算机，在光子计算机研究领域也有涉及。对称三进制能比二进制更方便的表示所有整数。三进制是 逢三进一, 退一还三 的进制。

参考文献

• 进位制 - 维基百科
• 一进制 - 维基百科
• 三进制计算机 - 百度百科