矩阵分析（二）极大线性无关组

两个向量组之间的线性表示关系

设 $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上的线性空间， $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ 和 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$ 是 $V$ 中的两个向量组， $\beta \in V$

如果存在 $p$ 个数 $k_i \in \mathbb{F}, i=1,2,...,p$ ，使得 $\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+・・・+\alpha_pk_p=\beta$ ，称向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ 线性表示。
如果每个 $\beta_j$ 都可以由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ 线性表示， $j=1,2,...,q$ 。为了方便， $\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ 线性表示可以用符号记为： $\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}\leq_{lin}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}$

线性表示关系的传递性

设 $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上的线性空间， $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ ; $\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$ ; $\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t$ 是 $V$ 中三个向量组。若
$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}\\ \{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}≤_{lin}\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t\}$
则 $\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t \}$

证明：利用线性表示关系的矩阵表达即可。由条件知，存在 $T \in \mathbb{F}^{q \times p}, S \in \mathbb{F}^{t \times q}$ 满足
$[\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p]=[\beta_1,\beta_2,...,\beta_q]T\\ [\beta_1, \beta_2,...,\beta_q]=[\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t]S$
得 $[\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p]=[\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t](ST)$ 。由于 $ST\in \mathbb {F}^{t\times p}$ 得证。

扁（列>行) 的齐次线性方程组必有非零解。（未知数个数大于方程个数）
设 $A \in \mathbb{F}^{m \times n}$ , $1 \leq m \lt n$ ，则齐次线性方程组 $Ax = 0$ 必有非零解
$x=\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\in \mathbb{F}^n,\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\neq0$
这里， $m \lt n$ ，也就是方程的个数少于未知数的个数（不定方程），系数矩阵呈扁形。

证明：对m用数学归纳法

线性相关/无关的定义

线性表示与线性无关性

设 $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上的线性空间， $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ 和 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$ 是 $V$ 中的两个向量组。若 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ 线性无关， $\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}$ ，则 $p \leq q$

证明：用反证法，假设 $p \gt q$ ，则由线性表示关系的矩阵表达可知，存在矩阵 $T\in \mathbb {F}^{q\times p}$ ，使得
$\begin{bmatrix} \alpha_1 &\alpha_2 & \cdots & \alpha_p\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\beta_1 &\beta_2 & \cdots & \beta_q\end{bmatrix}T$

因为扁的齐次方程组必有非零解，所以存在 $c \in \mathbb{F}^p$ 非零，使得 $Tc=0$ 。上述等式两边右乘 $c$ 得
$\begin{bmatrix}\alpha_1 &\alpha_2 & \cdots & \alpha_p\end{bmatrix}c=\begin{bmatrix}\beta_1 &\beta_2 & \cdots & \beta_q\end{bmatrix}Tc=0$
因为 $c \in \mathbb{F}^p$ 非零，此结论与 $\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_p$ 线性无关矛盾，证毕