人工智能必知必会-向量的加减与缩放

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向量的数学运算

在很多文献中你看到的向量会这么表示： $\vec{a}$ ,代表向量a。
关于向量最重要的就是你要知道它的起点和终点，如果没有说明起点，我们把原点 $\begin{bmatrix} {0} \\ {0} \\ \end{bmatrix}$ 认为是默认起点。所以你看到的向量： $\begin{bmatrix} {2} \\ {5} \\ \end{bmatrix}$ 代表的就是以为(0,0)为起点以(2,5)为终点的向量。 $\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$ 代表的就是以为(0,0)为起点以(3,2)为终点的向量。
这代表了一个向量的方向。

2个向量

另外你要知道向量是有距离的也就是我们常数的模长。数学符号为| $\vec{a}$ |或者 |a|。

模长

向量(3,4)，就代表以(0,0)为起点，以(3,4)为终点的线段。模长为5 ( $\sqrt{{(3-0)^2} + {(4-0)^2}}$ )

向量的运算我们重点回顾加减法与内积

向量的加减

重点要掌握向量加减的物理意义：
加法，两相加之后的结果会与原向量角度变近
减法，两相加之后的结果会与原向量角度变远

加法的平行四边形法则 u + v ：

向量的加法准备

第一步,移动v构建平行四边形

第二步，画出对角线就是结果

所以向量u+v 可以这么理解，就是一个人从起点(0,0)沿着u方向行走了若干距离(u的模长)以后又沿着平移后的v方向走了若干距离（v的模长）最后到达的终点与(0,0)构成了一个新的向量。
并且u+v这个向量，和原来的向量v的角度变近了，原来u和v之间的角度目测是90度！

减法的平行四边形法则 u - v

向量u-v 准备

第一步把v沿着相反的方向做变换

第二步移动-v构建平行四边形

第三步画出对角线就是结果

所以你看，其实u-v 不就是u+(-v)吗？

所以向量u - v 可以这么理解，就是一个人从起点(0,0)沿着u方向行走了若干距离(u的模长)以后又沿着平移后的-v方向走了若干距离（v的模长）最后到达的终点与(0,0)构成了一个新的向量。
并且u-v这个向量，和原来的向量v的角度变远了，原来u和v之间的角度目测是90度！

向量的缩放

向量缩放

向量的缩放就直接上图了，向量与数字进行乘法运算2 * =

向量与一个标量做乘法运算的物理意义就是向量本身方向不变，模长做缩放变化。

这里不要急着去敲代码，把上面的物理意义记住！！！！！

使用numpy来进行运算，你可以使用其它运算工具来进行运算。

import numpy as np

v1 = np.array([1,0])
v2 = np.array([0,1])
v1 + v2

输出

array([1, 1])

v3 = np.array([1,1])
v3 - v1

输出

array([0, 1])

v4 = np.array([3, 0])
2 * v4

输出

array([6, 0])

各位可以尝试把这个过程画到纸上，再感受一下向量加减的物理感觉。

最后编辑于：2019.04.24 22:54:46