AB测试原理（四）非参数检验（1）

实践中样本总体往往不服从正态分布，下面介绍针对非正态分布总体的假设检验，也称为非参数检验。

1.符号检验

1). 符号检验样本数n<20, 单个总体中位数差异双侧检测过程：

(1)给定来自同一总体的N个样本值，给定一个假设的总体中位数 m

(2) H0: 总体中位数 = m，H1：总体中位数≠m，确定显著度α

(3) 将N个样本中>m 的样本记为“+”， <m的记为“-”， =m的样本删除,得到n个样本

(4)令P表示“+”号的概率，则若中位数=m(H0成立），p=0.5，所以将假设转化为二项分布概率p的假设：

H0: p=0.5, H1:p≠0.5

(5)计算二项分布的概率分布图，binomial(n=i, p=0.5), i= 1, ...n,

(6) 由于是双侧检测，p为"+"的概率:

$若n_+>0.5n, p-value= 2*\sum_{i>=n_+}^n binomial(n=i, p=0.5)$

$若n_+<0.5n, p-value= 2*\sum_{i>=0}^{n_+} binomial(n=i, p=0.5)$

(7) 若 p-value < α，拒绝假设H0（总体中位数不是m），否则不能拒绝假设H1

2）.符号检验样本数>20, 单个总体中位数单侧检测过程：

(1)给定来自同一总体的N个样本值，给定一个假设的总体中位数 m

(2)H0: 总体中位数 >= m，H1：总体中位数<m(比如指标中位数有所下降)，确定显著度α

(3)将N个样本中>m 的样本记为“+”， <m的记为“-”， =m的样本删除,得到n个样本

(4)令P表示“+”号的概率，所以将假设转化为二项分布概率p的假设：H0: p>=0.5, H1:p<0.5

(5) n+ < 0.5n (否则一般不会有下降的备则假设H1)，位于二项分布下侧，

$p-value = \sum_{i=0}^{n_+} binomial(n=i, p=0.5)$ ,可以这样计算

(6) 由于当n>20时，二项分布随机变量x（正的频数）近似服从 $N(\mu,\sigma), \mu=0.5n, \sigma=\sqrt{0.25n}$

$n_+1$ 为 $n_+$ 的连续因子矫正值， $p-value = P(x<= n_+1) = P( x<= \frac{n_+1 - \mu}{\sigma})$

(7) 若p-value <α，拒绝H0（指标中位数有所下降），否则无法拒绝H0

2. 匹配样本（成对样本）的假设

检测两总体是否有差异的检验过程：

(1) 提供N对样本，其中一个来自总体1，另一个来自总体2，

(2) 每一对样本，偏好总体1为“+”, 偏好总体2偏好为“-”，无差别的样本删掉，得n个样本

(3) 定义p为偏好总体1的概率，H0： p=0.5, H1: p ≠0.5，定义显著度α

(4) 符号检验，双侧：

$若n_+ >0.5n, p-value = 2* \sum_{i>=n_+}^n binomial(n=i,p=0.5)$

$若n_+ <0.5n, p-value = 2* \sum_{i>0}^{n_+} binomial(n=i,p=0.5)$ (5) 若 p-value <α，拒绝H0（两总体有偏好差别），否则无法拒绝H0

若 N > 20, 亦可用正态分布求p-value。

3. 连续区间校正

当随机变量X是离散变量时，用正态分布近似要将X=x的离散概率近似为(x-0.5, x+0.5)区间上的正态概率，

若为上侧取 X= x+0.5，若为下侧取 X=x-0.5

最后编辑于：2021.05.21 17:52:53

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1.符号检验

2. 匹配样本（成对样本）的假设

3. 连续区间校正

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