Achilles and the Tortoise
阿基里斯和乌龟赛跑，阿基里斯让乌龟领先一段距离。假设两名选手都分别以恒定的速度奔跑，而阿基里斯跑得比乌龟快。在一段有限的时间后，阿基里斯将到达乌龟原来的起点。但在这段时间里，乌龟又往前跑了一段距离。阿基里斯要花更多的时间跑完这段距离。但等他跑完时，乌龟已经又往前了；阿基里斯需要更多的时间到达第三个点，而乌龟还在继续前进。因此，尽管阿基里斯离乌龟越来越近，无论阿基里斯何时到达乌龟之前所在的地方，乌龟都已经又往前了。所以，阿基里斯永远也赶不上乌龟。
然而，这与我们的常识是完全相悖的，除非乌龟离终点已经很近，否则阿基里斯一定能够赶上乌龟。而且只要给出足够的已知条件，我们就可以计算出阿基里斯在哪一个时点哪一个空间会赶上乌龟。
阿基里斯和乌龟是芝诺诸悖论中的一个。
破解
这是一个由于无穷而导致的悖论。
无穷只存在于抽象思维中。用微积分来说明的话，阿基里斯每一次追上乌龟的时间越来越短，他们之间的距离也越来越短。阿基里斯追上乌龟时，他们移动的总距离是收敛的，有一个极限。在某个时点，阿基里斯将追上乌龟。但微积分并没有使得驳斥芝诺的论证变得更容易。它只是指出芝诺的结论的错误，而没有指出芝诺的推理过程错在哪儿。假如我试图用微积分来解释阿基里斯和乌龟，我就无法解释汤姆森的灯。
芝诺的推理错误地假设了现实中存在无穷小。但无穷小并不存在于现实中。因为测量都有最小的刻度，现实中的变化都是离散的而非连续的。在极小的尺度上，匀速运动是不可能的。在极小的尺度上，事物在某些时刻会移动，在另一些时刻则不会移动。
距离的移动需要时间。移动很少距离需要很少时间。物体移动得越慢，它移动这小距离所需的时间就越多。阿基里斯每一次到达乌龟所在地总是比上一次花费更短时间。在阿基里斯许多次到达乌龟所在地之后，必定会有这样一个时刻，在这个时刻里，在速度较快的阿基里斯接下来到达乌龟所在地之际，速度较慢的乌龟在这个短的时刻内不能移动任何距离。
设宇宙中最小的距离为u，乌龟的速度为m·u。为了方便，设阿基里斯的速度为10m·u。但实际上只要比乌龟快，以下论证都成立。在经过多次追逐后的某时点，阿基里斯距离乌龟u。阿基里斯再次到达乌龟所在地费时u/(10m·u)=1/(10m)。在1/(10m)时间里，乌龟理论上会移动(1/10m)·m·u=u/10。但u/10的距离在现实中不存在，因为u已经是宇宙中最小的距离了。因此，乌龟只能在10个1/(10m)时间里，也就是1/m的时间里，移动u距离，而不能在每个1/(10m)时间里分别移动u/10距离。所以，乌龟只能在10个1/(10m)时间里的某一个1/(10m)时间移动u距离，而其余的九个1/(10m)时间则不能移动。假如乌龟在第一个1/(10m)时间没有移动，那么阿基里斯就追上乌龟了。假如乌龟在第一个1/(10m)时间移动了u距离，阿基里斯又费时1/(10m)到达了乌龟所在地，而乌龟在这个1/(10m)时间以及其他8个1/(10m)时间都不会移动。阿基里斯也追上乌龟了。
假如我们承认无穷小在现实中的存在，我们就无法反驳芝诺。但只要我们否认无穷小在现实中的存在，阿基里斯就能追上乌龟。
