2021-04-21 二项式定理中的通项使用方法

二项式定理中的通项计算

类型一：求第 $k$ 项
- 例题：已知 $(2a-3b^2)^8$ ，
  1. 求展开式的前3项；
  2. 求展开式的第7项；
  3. 求展开式的中间一项.
- 解：
  1. $(2a-3b^2)^8=C_8^0(2a)^8+C_8^1(2a)^7(3b^2)^1+C_8^2(2a)^6(3b^2)^2+\cdots$
    
    $(2a-3b^2)^8=256a^8+3072a^7b^2+16128a^6b^4+\cdots$
  2. $T_{6+1}=C_8^6(2a)^2(3b^2)^6=2^23^6C_8^6a^2b^{12}$
  3. 展开式共有9项，中间一项为第5项， $T_{4+1}=C_8^4(2a)^4(3b^2)^4=2^43^4C_8^4a^4b^8$

类型二：求指定项的系数与二项式系数
- 例题：在 $(\sqrt x - \cfrac 2x)^6$ 的展开式中，
  1. 求 $\cfrac 1{x^3}$ 的系数与二项式系数；
  2. 求常数项.
- 解：
  1. $T_{k+1}=C_6^k(\sqrt x)^{6-k}(-\cfrac 2x)^k$
    - 通项书写完成之后，分别整理常数部分和变量部分，变量部分尽量用分数指数幂表示，便于指数的整理
    - 所用公式： $\sqrt[m] {x^n} = x^{\frac nm}$ ， $\cfrac 1x = x^{-1}$
    $T_{k+1}=(-2)^k C_6^k (x^{\frac 12}){^{6-k}} (x^{-1})^k$
    - 继续整理变量x的指数部分
    - 所用公式： $(x^m)^n = x^{mn}$
    $T_{k+1}=(-2)^k C_6^k x^{\frac {6-k}2} x^{-k}$
    - 最后用同底数幂相乘的公式整理 $x^mx^n = x^{m+n}$
    $T_{k+1}=(-2)^k C_6^k x^{\frac {6-3k}2}$
    
    令 $\cfrac {6-3k}2 = -3$ ，得 $k=4$
    
    $T_{k+1}=(-2)^4 C_6^4 \cfrac 1{x^3} = 240 \cdot \cfrac 1{x^3}$
    
    $\cfrac 1{x^3}$ 的系数为 $240$
    
    $\cfrac 1{x^3}$ 二项式系数为 $C_6^4 = 15$
  2. 常数项等价于 $x^0$ 项
    
    令 $\cfrac {6-3k}2 = 0$ ，得 $k=2$
    
    $T_{k+1}=(-2)^2 C_6^2 x^0 = 60$
    
    所以常数项为 $60$

最后编辑于：2021.04.21 11:13:24

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