解析几何之目~抛物线的弦和切线：2019年全国卷C题21

2019年理科数学全国卷三题21（12分）

已知曲线 $C:y=\dfrac{x^2}{2},D$ 为直线 $y=-\dfrac{1}{2}$ 上的动点，过 $D$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$ .

（1）证明：直线 $AB$ 过定点；

（2）若以 $E(0,\dfrac{5}{2})$ 为圆心的圆与直线 $AB$ 相切，且切点为线段 $AB$ 的中点，求四边形 $ADBE$ 的面积。

【分析】

由形入手分析，对于题设直线上的每一个点，可以作两条切线。从对称性角度分析，因为抛物线和直线关于 $y$ 轴对称，所以，弦 $AB$ 上的这个定点一定在 $y$ 轴上。直线 $AB$ 的方程可以化为以下形式： $y=kx+b$

抛物线 $2py=x^2$ 的弦的斜率与弦的中点存在以下联系： $p \cdot k = x_0$ . 此处 $x_0$ 代表弦的中点的 $x$ 坐标。这是用平方差法推导得出的常用结论。

假如在保持弦的斜率不变的情况下，让弦向下移动，两个端点会向中点靠拢，最终三点重合，弦就变为抛物线的切线。因此，以上公式对切线同样有效， $x_0$ 代表切点的坐标。

由形入手分析，对于 $y=-\dfrac{1}{2}$ 上每个动点，可以作出两条切线；从代数的角度，把 $D$ 点坐标作为参数，可以列出一个方程（二次方程），该方程的解与两个切点相对应。

有了两个切点的坐标，就可以写出弦 $AB$ 的方程。假如解出两点坐标再写方程，计算量较大。

应用以上常用结论，可以根据弦 $AB$ 的两个端点的坐标求出其斜率。借助韦达定理，在不解二次方程的情况下，即可求出中点坐标和弦的斜率，从而得出弦 $AB$ 的方程。

【解答第1问】

$y=\dfrac{x^2}{2} \;\Rightarrow 2y=x^2$

本题中，抛物线的切线的斜率与切点坐标存在如下关系： $k=x_0$ . 其中， $x_0$ 代表切点坐标。

设点 $D$ 坐标为 $(t,-\dfrac{1}{2})$ ，切点坐标可记作： $(x_1,\dfrac{x^2_1}{2}),(x_2,\dfrac{x^2_2}{2})$

两个切点的坐标满足以下方程：

$\dfrac{ \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2}}{x-t}=x \;\Rightarrow \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2}=x^2-tx$

$\Rightarrow x^2-2tx-1=0$

$x_1+x_2=2t,\; x_1x_2=-1$

$x^2_1+x^2_2=(2t)^2-2 \cdot (-1)=4t^2+2$

$y_1+y_2=\dfrac{1}{2}(x^2_1+x^2_2)=2t^2+1$

$k_{AB}=\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)=t$

直线 $AB$ 的点斜式方程为： $y=\dfrac{1}{2}(2t^2+1) + t(x-t)=tx+\dfrac{1}{2}$

结论：直线 $AB$ 经过定点 $(0,\dfrac{1}{2})$

【解答第2问】

本题中，抛物线关于 $y$ 轴对称，所以弦 $AB$ 的斜率一定是存在的。

当 $k_{AB}=0$ ，其方程为 $y=\dfrac{1}{2}$ , 中点为 $(0,\dfrac{1}{2})$ , 满足题设要求。

此时的 $A,B$ 坐标为 $(\pm 1, \dfrac{1}{2}), |AB|=2$

$S_{ADBE}=S_{\triangle ABE} + S_{\triangle ABD}=3$

以下考虑 $k_{AB} \neq 0$ 的情况。

设弦 $AB$ 中点 $M$ 的横坐标为 $m$ , 应用第1问结论，直线方程为： $y=\dfrac{1}{2}+mx$

中点坐标为： $M(m,\dfrac{1}{2}+m^2)$

$EM \perp AB \;\Rightarrow k_{EM} \cdot m=-1$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}+m^2 - \dfrac{5}{2}=-1 \;\Rightarrow m=\pm 1$

满足条件的直线 $AB$ 的有两条： $y=\dfrac{1}{2}+x, \quad y=\dfrac{1}{2}-x$

两条直线关于 $y$ 轴对称，所得四边形面积相等。

今取 $m=1,$ 方程可化为： $x-y+\dfrac{1}{2}=0$ , 点 $D$ 坐标为 $(1,-\dfrac{1}{2})$

点 $E$ 与 $AB$ 的距离： $d_1=\sqrt{2}$

点 $D$ 与 $AB$ 的距离： $d_2=\sqrt{2}$

联立直线与抛物线方程并消元可得： $x^2-2x-1=0$

$x_1+x_2=2,\;x_1x_2=-1$

$(x_1-x_2)^2=8 \;\Rightarrow |AB|^2=8 \times (1+1)=16$

$\therefore |AB|=4$

$S_{ADBE}=S_{\triangle ABE} + S_{\triangle ABD}$

$=\dfrac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{2} \times 2 = 4 \sqrt{2}$

结论：四边形 $ADBE$ 的面积为 $3$ 或 $4\sqrt{2}$ .

【易错点】

本题中， $AB$ 斜率为0时，满足题设条件，但此时 $EM$ 斜率不存在，所以很容易漏解。

为避免漏解，应从两个方面着手：一是多画图，养成从几何角度分析的习惯；二是针对直线与坐标轴平行或者垂直的情况，要分情况讨论，同样要在平时的解题过程中培养好习惯。

【提炼与提高】

本题难度不高，却很有典型性。韦达定理和平方差法是高中解析几何中最重要的两种方法，在本题解答中都用到了。

本题涉及了以下几何对象：抛物线、圆、弦、切线、四边形和三角形。

在本题中还可以看到以下典型的基本问题：求弦长、求点和直线的距离、求三角形和四边形的面积。

从高考例题的角度，这是一个优秀的考题；从备考的角度，值得多花时间体会。

最后编辑于：2021.01.14 22:10:14

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