高等数学——重积分

1. 概念与性质

1.1 定义

设 $f(x, y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数，将闭区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域
$\Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2,\cdots , \Delta \sigma_n,$
其中 $\Delta \sigma_i$ 表示第 $i$ 个小闭区域，也表示它的面积。在每个 $\Delta \sigma_i$ 上任取一点 $(\xi _i,\eta _i)$ ，作乘积 $f(\xi _i,\eta _i)\Delta \sigma_i\,\,(i=1, 2, \cdots, n)$ ，并作和 $\sum_{i=1}^{n}f(\xi _i,\eta _i)\Delta \sigma_i$ 。如果当各小闭区域的直径中的最大值 $\lambda$ 趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分，记作 $\iint_{D}f(x, y)d\sigma$ ，即
$\iint_{D}f(x, y)d\sigma = \underset{\lambda\rightarrow 0 }{lim} \sum_{i=1}^{n}f(\xi _i,\eta _i)\Delta \sigma_i$
其中 $f(x, y)$ 叫做被积函数， $f(x, y)d\sigma$ 叫做被积表达式， $d\sigma$ 叫做面积元素， $x$ 与 $y$ 叫做积分变量， $D$ 叫做积分区域， $\sum_{i=1}^{n}f(\xi _i,\eta _i)\Delta \sigma_i$ 叫做积分和。

在直角坐标系中，有时也把面积元素记作 $dxdy$ ，把二重积分记作
$\iint_{D}f(x, y)dxdy$

1.2 二重积分的性质

性质 1 设 $\alpha,\,\beta$ 为常数，则
$\iint_{D}[\alpha f(x, y) + \beta g(x, y)]d\sigma = \alpha \iint_{D}f(x, y)d\sigma + \beta \iint_{D}g(x, y)d\sigma$

性质 2 如果闭区域 $D$ 能被分成两个闭区域 $D_1$ 与 $D_2$ ，则
$\iint_{D}f(x, y)d\sigma = \iint_{D_1}f(x, y)d\sigma + \iint_{D_2}f(x, y)d\sigma$

性质 3 如果在 $D$ 上， $f(x, y) \leqslant g(x, y)$ ，则有
$\iint_{D}f(x, y)d\sigma \leqslant \iint_{D}g(x, y)d\sigma$
特殊地，由于
$-|f(x, y)| \leqslant f(x, y) \leqslant |f(x, y)|$
又有
$|\iint_{D}f(x, y)d\sigma | \leqslant \iint_{D}|f(x, y)|d\sigma$

性质 4 (二重积分的中值定理) 设 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续， $\sigma$ 是 $D$ 的面积，则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi ,\eta )$ ，使得
$\iint_{D}f(x, y)d\sigma = f(\xi ,\eta ) \cdot \sigma$

1.3 二重积分的对称性

引例
$\iint_{D:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}\leqslant 1}(2x^2 + 3y^2)dxdy = \iint_{D:\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}\leqslant 1}(2y^2 + 3x^2)dydx$
若把 $x$ 与 $y$ 对调，区域 $D$ 不变（或称区域 $D$ 关于 $y=x$ 对称），则
$\iint_{D}f(x, y)dxdy = \iint_{D}f(y, x)dydx$
这就是轮换对称性。

2 二重积分的计算

二次积分 设函数 $f(x, y) \geqslant 0$ ，且积分区域可用不等式 $\phi_1(x) \leqslant y \leqslant \phi_2(x), a\leqslant x \leqslant b$ 来表示，其中函数 $\phi_1(x) , \phi_2(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续。则有
$\iint_{D}f(x, y)d\sigma = \int_{a}^{b}[\int_{\phi_(x)}^{\phi_2(x)}f(x, y)dy]dx \tag{1}$
右端的积分也叫做先对 $y$ 再对 $x$ 的二次积分。
等式 $(1)$ 也可写作
$\iint_{D}f(x, y)d\sigma = \int_{a}^{b}dx\int_{\phi_(x)}^{\phi_2(x)}f(x, y)dy \tag{2}$
应用公式 $(1)$ 或 $(2)$ 时，积分区域必须是 $X$ 型的，即穿过 $D$ 内部且平行于 $y$ 轴的直线与 $D$ 的边界相交不多于两点。

极坐标法 将点 $(\rho, \theta )$ 看做是同一平面上的点 $(x, y)$ 的极坐标表示，则有
$\iint_{D}f(x, y)d\sigma = \iint_{D}f(x, y)dx\,dy = \iint_{D}f(\rho\, cos\,\theta, \rho\, sin\,\theta)\rho d\rho d \theta$
其中 $\rho d\rho d \theta$ 是极坐标系中的面积元素。

换元法 设函数 $f(x, y)$ 在 $xOy$ 平面上的闭区域 $D$ 上连续，变换
$T: x = x(u, v), y = y(u, v) \tag{3}$
将 $uOv$ 平面上的闭区域 $D'$ 变为 $xOy$ 平面上的 $D$ ，且满足
(1) $x(u, v), y(u, v)$ 在 $D'$ 上具有一阶连续偏导数，
(2) 在 $D'$ 上雅可比式
$J(u,v) = \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}\neq 0$
(3) 变换 $T: D \rightarrow D'$ 是一对一的。
则有
$\iint_{D}f(x, y)dx\,dy = \iint_{D'}f[x(u, v), y(u, v)]\,|J(u, v)|\,du\,dv$

3 三重积分的计算

三次积分
$\iiint_{\Omega }f(x, y, z)dv = \int_{a}^{b}dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}dy\int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)}dz$

极坐标法
$\iiint_{\Omega }f(x, y, z)dv = \iiint_{\Omega }f(\rho\, cos\,\theta, \rho\, sin\,\theta, z)\rho d\rho\, d \theta \,dz$

球坐标法
$\iiint_{\Omega }f(x, y, z)dv = \iiint_{\Omega } f(r\,sin\,\phi \,cos\,\theta,r\,sin\,\phi \,sin\,\theta, r\,cos\,\phi )r^{2}sin\,\phi\,dr\,d\phi \,d\theta$

4 重积分的应用

4.1 曲面的面积

设曲面 $S$ 由方程 $z = f(x, y)$ 给出， $D$ 为曲面 $S$ 在 $xOy$ 面上的投影区域，函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上具有连续偏导数 $f_x(x, y)$ 及 $f_y(x, y)$ ，则曲面 $S$ 的面积可用以下公式进行计算
$A = \iint_{D}\sqrt{1 + f^{2}_x(x, y)) + f^{2}_y(x, y)}d\sigma$
上式也可以写成
$A = \iint_{D}\sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial z}{\partial y})^{2}}dx\,dy$

推导过程 在闭区域 $D$ 上任取一直径很小的闭区域 $d\sigma$ （这小闭区域的面积也记作 $d\sigma$ ），在 $d\sigma$ 上取一点 $P(x ,y )$ 对应的曲面 $S$ 上有一点 $M(x, y, f(x, y))$ ，点 $M$ 在 $xOy$ 面上的投影即点 $P$ 。点 $M$ 处曲面 $S$ 的切平面设为 $T$ ，以 $d\sigma$ 的边界为准线做母线平行于 $z$ 轴的柱面，截得曲面 $S$ 和切平面 $T$ 的一小块曲面，由于 $d\sigma$ 的直径很小，切平面 $T$ 上那一小块面积 $dA$ 可以近似代替相应的那小片曲面的面积，设点 $M$ 处曲面 $S$ 上的法线与 $z$ 轴所成的角为 $\gamma$ ，则 $dA = \frac{d\sigma }{cos\,\gamma }$
因为 $cos\,\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + f^{2}_x(x, y)) + f^{2}_y(x, y)}}$
所以 $dA = \sqrt{1 + f^{2}_x(x, y)) + f^{2}_y(x, y)}d\sigma$

参数方程法 设曲面 $S$ 由参数方程
$\left\{\begin{matrix} x = x(u, v)\\ y = y(u, v)\\ z = z(u, v) \end{matrix}\right.,\quad(u,v)\in D$
给出，其中 $D$ 是一个平面有界闭区域，又 $x(u, v), y(u, v), z(u, v)$ 在 $D$ 上具有连续一阶偏导数，且
$\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)},\frac{\partial (y, z)}{\partial (u, v)},\frac{\partial (x, z)}{\partial (u, v)}$
不全为零，则曲面 $S$ 的面积
$A = \iint_{D}\sqrt{EG - F^{2}}du\,dv$
其中
$E = x_u^{2} + y_u^{2} + z_u^{2}$
$F = x_u \cdot x_v + y_u\cdot y_v + z_u \cdot z_v$
$G = x_u^{2} + y_u^{2} + z_u^{2}$

5 含参变量的积分

设 $f(x, y)$ 是矩形闭区域 $R=[a,b] \times [c, d]$ 上的连续函数，在 $[a, b]$ 上任意取定 $x$ 的一个值，于是 $f(x, y)$ 是变量 $y$ 在 $[c ,d]$ 上的一个一元函数，从而积分 $\int_{c}^{d}f(x, y)dy$ 依赖于 $x$ ，于是可以写成
$\phi (x) = \int_{c}^{d}f(x, y)dy\quad (a\leqslant x\leqslant b) \tag{1}$

定理 1 如果 $f(x, y)$ 在矩形闭区域 $R=[a,b] \times [c, d]$ 上连续，那么由积分 $(1)$ 确定的函数 $\phi (x)$ 在 $[a, b]$ 也连续。

定理 2 如果 $f(x, y)$ 在矩形闭区域 $R=[a,b] \times [c, d]$ 上连续，则
$\int_{a}^{b}[\int_{c}^{d}f(x, y)dy]dx = \int_{c}^{d}[\int_{a}^{b}f(x, y)dx]dy$
也可写成
$\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x, y)dy = \int_{c}^{d}dy \int_{a}^{b}f(x, y)dx$

定理 3 如果函数 $f(x, y)$ 及其偏导数 $f_x(x, y)$ 都在矩形闭区域 $R=[a,b] \times [c, d]$ 上连续，那么由 $(1)$ 确定的函数 $\phi (x)$ 在 $[a, b]$ 上可微分，并且
$\phi'(x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_{c}^{d}f(x,y)dy = \int_{c}^{d}f_x(x,y)dy$

在 $(1)$ 中积分限 $c ,d$ 都是常数，对于积分限随着 $x$ 的变化而变化的情形，即以下积分有另外一些性质
$\Phi (x) = \int_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x, y)dy \tag{2}$

定理 4 如果 $f(x, y)$ 在矩形闭区域 $R=[a,b] \times [c, d]$ 上连续，函数 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且
$c\leqslant \alpha (x)\leqslant d, c\leqslant \beta (x)\leqslant d\quad (a\leqslant x\leqslant b)$
则由积分 $(2)$ 确定的函数 $\Phi (x)$ 在 $[a, b]$ 上也连续。

定理 5 如果函数 $f(x, y)$ 及其偏导数 $f_x(x, y)$ 都在矩形闭区域 $R=[a,b] \times [c, d]$ 上连续，函数 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 在区间 $[a, b]$ 可微，且
$c\leqslant \alpha (x)\leqslant d, c\leqslant \beta (x)\leqslant d\quad (a\leqslant x\leqslant b)$
则由积分 $(2)$ 确定的函数 $\Phi (x)$ 在 $[a, b]$ 上也可微，且
$\Phi' (x) =\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \int_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x, y)dy\\= \int_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f_x(x, y)dy + f[x, \beta (x)]\beta' (x) - f[x, \alpha (x)]\alpha' (x)$
此式子也称为莱布尼茨公式。

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