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4. 变力做功

低维量子系统

4. 变力做功

变力做功

知识点

直接积分法
动能定理法
建模积分法

表达题

变力做功的常用方法：直接积分。某质点在力 $\vec{F}=(4+2x)\ \vec{i}$ 的作用下沿 $x$ 轴作直线运动，在从 $x=0$ 移动到 $x=10$ 的过程中，力所做的功为()

解答： $W=\intop_{0}^{10}(4+2x)dx=140$ .

变力做功的常用方法：直接积分。质量为 $m$ 的质点在合外力 $\vec{F}=(4+2v)\ \vec{i}$ 的作用下沿 $x$ 轴作直线运动，在从 $v=0$ 移动到 $v=10$ 的过程中，合外力所做的功为().

解答： $W=\intop_{0}^{10}(4+2v)dv=140$ ? 错误，请记得功是力对“位移”的积分. 正确的解法是动能定理：合外力做的功等于动能的改变。 $W=\frac{1}{2}mv_{\text{末}}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$$=50m$ .

变力做功的常用方法：动能定理。质量为 $m=2$ 的质点，在 $Oxy$ 坐标平面内运动，其运动方程为 $x=5t$ ， $y=t^{2}$ ，从 $t=2$ 到 $t=4$ 这段时间内，外力对质点作的功为().

解答：动能定理：合外力做的功等于动能的改变。 $W=\frac{1}{2}mv_{4}^{2}-\frac{1}{2}mv_{2}^{2}$ . 所以关键是求出初末速率 $v_{4}$ 和 $v_{2}$ . 由于 $\vec{r}=5t\ \vec{i}+t^{2}\ \vec{j}$ ，知, $\vec{v}=5\ \vec{i}+2t\ \vec{j}$ . 于是 $\vec{v}_{4}=5\ \vec{i}+8\ \vec{j}$ ， $\vec{v}_{2}=5\ \vec{i}+4\ \vec{j}$ . 最后 $v_{4}^{2}=89$ , $v_{2}^{2}=41$ .

变力做功的常用方法：动能定理。质量 $m=1$ 的质点在力 $F=2t\ \vec{i}$ 的作用下，从静止出发沿 $x$ 轴正向作直线运动，则前3秒内该力所作的功为()。

解答：动能定理：合外力做的功等于动能的改变。 $W=\frac{1}{2}mv_{3}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$ . 所以关键是求出初末速率 $v_{3}$ . 由于已知 $F(t)$ ，使用冲量定理有 $mv_{3}-mv_{0}=\intop_{0}^{3}Fdt$$=9$ ，故 $v_{3}=9$ . $W=40.5$ .

变力做功的常用方法：动能定理。质量 $m=2$ 的物体沿x轴作直线运动，所受合外力 $F=1+2x$ 。如果在 $x=0$ 处时速度 $v_{0}=\sqrt{5}$ ；求该物体运动到 $x=4$ 处时速度的大小()。

解答：动能定理：合外力做的功等于动能的改变。 $W=\frac{1}{2}mv_{4}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$ . 所以关键是求出功 $W$ . 由于已知 $F(x)$ ，使用直接积分有 $W=\intop_{0}^{4}Fdx$$=x+x^{2}=20$ ，故 $v_{4}=5$ .

一人从深度为 $H$ 的井中提水，起始时桶中装有质量为 $M$ 的水，桶的质量为 $M_{0}$ kg，由于水桶漏水，每升高 $1$ 米要漏去质量为 $a$ 的水。求水桶匀速缓慢地从井中提到井口人所作的功。
以井底为原点，向上为正方向建立 $x$ 轴。
第一步，关于积分微小过程的描述有
(1) 当水桶位于 $x$ 位置时
(2) 当水桶从 $x$ 位置上升到 $x+dx$ 的过程中。
第二步，元功 $F(x)dx$ 应表达为
(3) $(M_{0}+M-xa)gdx$
(4) $(M_{0}+M+xa)dx$
第三步，定积分的写法为
(5) $\intop_{0}^{H}F(x)dx$
(6) $\intop_{M}^{0}F(x)dx$
以上正确的是( )

解答：物理学强调建立积分表达式的过程，亦即建模的过程；高数强调计算积分的过程。(2)(3)(5)

一链条总长为 $l$ ，质量为 $m$ ，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为 $a$ .设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 $\mu$ 。令链条由静止开始运动，则到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？
以桌面边缘为原点，以向下为正方向建立 $x$ 轴。
第一步，关于积分微小过程的描述有
(1) 在链条底端下降 $dx$ 的过程中
(2) 当链条底端从 $x$ 位置下降到 $x+dx$ 的过程中。
第二步，摩擦力的元功 $f(x)dx$ 应表达为
(3) $-\mu\frac{m}{l}(l-x)gdx$
(4) $-\mu\frac{m}{l}(l-x-a)gdx$
第三步，定积分的写法为
(5) $\intop_{a}^{l}f(x)dx$
(6) $\intop_{0}^{l}f(x)dx$

以上正确的是( )

解答：物理学强调建立积分表达式的过程，亦即建模的过程；高数强调计算积分的过程。2,3,5

最后编辑于：2019.03.10 18:24:32

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