复合事件Compound Events, 互不相容事件 Mutually Exclusive Events 和穷尽事件 Collectively Exhaustive Events
假设有两个事件A和B, 一个复合事件是2个或多个简单事件的组合. 如果A和B是简单事件, 那么A∪B表示出现 A或B 的事件,类似的,A∩B表示A和B同时都出现的事件.
如果A和B没有任何共享的元素(即A∩B=∅且P(A∩B)=0), 那么A和B是互不相容(mutually exclusive)或者互斥(disjoint).
2个或多个互不相容的简单事件中,出现任意个事件的概率, 就是出现事件的概率的并集(union). 因为互斥概率没有共同的事件, 互斥事件的概率的并集就是单个事件的概率的和(加起来).
假设事件A和事件B覆盖了样本空间S中所有事件,则事件A和B是穷尽事件
A∪B = S 且 P(A∪B) = 1
这引出概率论的另一个基本定律:
如果两个事件, A和B, 是穷尽事件, 则事件(A或B中任何一个发生)的概率就是这两个事件的概率之和
P(A 或or B) = P(A) + P(B)
如果事件A的结果对事件B没有影响, 则认为这两个是独立事件(比如说,扔一次硬币,第一次不会对第二次的结果有影响). 这引出概率论的下一个基本定律:
乘法定律:如果两个事件A和B是独立事件,那么这两个事件同时发生的事件的概率就是这两个事件的概率的乘积
P(A 且and B) = P(A) × P(B)
对于一系列事件发生的概率就是这些事件的交集(intersection ∩)
示例1
求扔两个硬币时, 一个得到正面, 一个得到反面的概率.
解:
- 实验: 扔两个硬币
- 样本空间S: 扔一个硬币的可能结果是{正, 反}; 如果扔两个硬币(a和b)我们就要考虑所有可能出现的结果, 由硬币a和硬币b的结果的笛卡尔积得到
样本空间S = {{a正,a反} × {b正,b反}} = {(a正, b正), (a正, b反), (a反, b正), (a反, b反)}
- 事件(A∩B): 一个正面,一个反面, 符合这个条件的事件,就叫A吧,(即A={(a正, b反), (a反, b正)}.
回到概率P的公式定义,可以说:
P(A) = 所求的结果数量 / 结果总数
= |A| / |S|
= 2 / 4 = 1 / 2
示例2
设有事件A,其概率为P(A) = 2/5, 和事件B, 其概率为P(B) = 4/5. 如果事件(A或B)的概率是3/5, 求事件(A且B)的概率:
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)
P(A ∩ B) = 2/5 + 4/5 - 3/5 = 3/5
