Two Random Squares
请回答下面两个问题：
有一个随机的大正方形和一个随机的小正方形，小正方形的面积大于大正方形的一半的概率是多少？
有一个随机的大正方形和一个随机的小正方形，小正方形的边长大于大正方形的边长的一半的概率是多少？
假如上述两个问题的答案都是50%的话，那就存在一个悖论：假如小正方形的边长等于大正方形的边长的一半，小正方形的面积只有大正方形的面积的四分之一。所以，假如小正方形的边长小于大正方形的边长的一半的概率是50%，小正方形的面积只有大正方形的面积的四分之一的概率也是50%，而小正方形的面积大于大正方形的一半的概率应当小于50%。
这个悖论的来源不详。然而，它似乎是一个简化了的贝特朗悖论。
破解
这是一个由无穷导致的悖论。
假如小正方形的各种可能大小是有限的、可以列举的，那么我们就可以数出小正方形的面积大于大正方形的一半的情形的数量和全部情形的数量，然后用前者除以后者得出小正方形的面积大于大正方形的一半的概率。用同样的方法也可以计算出小正方形的边长大于大正方形的边长的一半的概率。然而作为几何图形，小正方形的可能的大小是无限的。因此，上述计算是不可能的。
所以，在抽样的可能性无穷大的前提下，不同的抽样方法可能导致不同的概率。没有给出抽样方法就不能确定概率。这就是悖论产生的原因：“无穷大”这个调皮鬼的又一个恶作剧。
让我们猜猜那个随机的大正方形面积该有多大呢？会不会是极大的呢？假如要在无穷多的正数中随机选择一个正数作为这个正方形的面积，是不是有很大可能性选到一个特别大的数，一个难以想象地大的数呢？恐怕这样还不足够，因为从无穷大的总体中做随机抽样本身就是一项不可能完成的任务。如果你想要计算机为你生成一个随机正整数，它一定会请你给出一个范围。而没有确定的范围，它是不能生成这个随机数的。假如在一个无穷大的抽样范围中随机抽取一个数的话，不论这个数有多大，都是不够大的，不够随机的。
那么假如问题换成这样呢：
有一个随机的大正方形和一个随机的小正方形，它们的边长和面积都在0-1之间，小正方形的面积大于大正方形的一半的概率是多少？
有一个随机的大正方形和一个随机的小正方形，它们的边长和面积都在0-1之间，小正方形的边长大于大正方形的边长的一半的概率是多少？
这时我们碰到的是无穷小的问题。现实中，假如边长是均匀分布的，比如0.1,0.2,0.3……0.9,1，那么面积就不是均匀分布的，比如0.01,0.04,0.09……0.81，1。假如面积是均匀分布的，比如0.1,0.2,0.3……0.9，1，那么边长就不是均匀分布的，比如0.32,0.45,0.55……0.95,1。所以，尽管我们可以假设两个正方形的边长和面积都在0-1之间，我们无法同时假设他们的边长和面积都是均匀分布的。也就是说，边长和面积无法做到同时随机。作为抽象的几何问题，要破解悖论仍需要诉诸无穷小的定义，无穷小不是数字，而是未知数字的性质。这样，如果我们假设边长的最小刻度是m，m具有无穷小的性质，边长是随机的，面积就不是随机的；如果我们假设面积的最小刻度是m，m具有无穷小的性质，面积是随机的，边长就不是随机的。
所以，只要我们正确认识无穷的性质就能破解悖论。
