分数/小数的计算技巧

考点1：分数与小数的互化：

$\frac{2}{5}$ = 0.4 0.75= $\frac{3}{4}$ $\frac{1}{3}$ =0.333333……（无限循环小数）

无限循环小数化分数，整数部分照抄，小数部分有几位循环节，化为分数中分母就写几个9，之后将循环节作为分子，最后可以约分的进行约分即可。

0.7777……= $\frac{7}{9}$ 0.474747……= $\frac{47}{99}$ 1.375375……=1+375/999

例题：把0.5656……转化为分数形式（ C ）

A. $\frac{55}{99}$ B. $\frac{55}{100}$ C. $\frac{56}{99}$ D. $\frac{54}{99}$ E.57/100

分数的基本性质

分数的分子与分母同乘一个不为0的数或者算式，分数值不变

$\frac{b}{a}$ = $\frac{bc}{ac}$ = $\frac{ab}{a^2 }$ （a $\neq$ 0，c $\neq$ 0）

分数的加减法

分母相同，分母不变，分子直接加减

分母不同，先通分，再加减

分数的通分，异分母分数 $\implies$ 等值同分母分数（利用最小公倍数）

$\frac{2}{5}$ + $\frac{3}{7}$ = $\frac{2*7}{5*7}$ + $\frac{3*5}{7*5}$ = $\frac{14}{35}$ + $\frac{15}{ 35}$ = $\frac{29}{35}$

分数的裂项

$\frac{1}{4*5}$ = $\frac{5}{4*5}$ - $\frac{4}{4*5}$ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{5}$

$\frac{4}{3*7}$ = $\frac{7}{3*7}$ - $\frac{3}{3*7}$ = $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{7}$

裂项公式： $\frac{大数字-小数字}{小数字*大数字}$ = $\frac{1}{小数字}$ - $\frac{1}{ 大数字}$ （背）

$\frac{1}{3*7}$ = $\frac{1}{7-3}$ * $\frac{7-3}{3*7}$ = $\frac{1}{4}$ *（ $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{7}$ ）

$\frac{1}{a（a+2）}$ = $\frac{1}{（a+2）-a}$ * $\frac{（a+2）-a}{a（a+2）}$

= $\frac{1}{2}$ *（ $\frac{1}{a}$ - $\frac{1}{a+2}$ ）

例题2： $\frac{1}{1*2}$ + $\frac{1}{2*3}$ +……+ $\frac{1}{99*100}$ =（ A ）

A. $\frac{99}{100}$ B. $\frac{97}{100}$ C. $\frac{98}{99}$ D. $\frac{97}{99}$ E. $\frac{93}{100}$

解：裂项相消

1- $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ +……+ $\frac{1}{99}$ - $\frac{1}{100}$ =1- $\frac{1}{100}$ = $\frac{99}{100}$

例题3：

$\frac{2}{x（x+2）}$ + $\frac{2}{(x+2)(x+4)}$ +……+ $\frac{2}{（x+998）（x+1000）}$ =

（ D）

A. $\frac{1}{x}$ B. $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x+10}$ C. $\frac{1}{x}$ - $\frac{1}{ x+1000}$ D. $\frac{2}{x}$ - $\frac{2}{x+1000}$ E. $\frac{1}{x+100}$

例题4：

$\frac{1}{ x（x+2）}$ + $\frac{1}{（x+2）（x+4）}$ +……+ $\frac{1}{ （x+998）（x+1000）}$

=（）

A. $\frac{1}{x}$ B. $\frac{1}{x}$ - $\frac{1}{ x+1000}$ C. $\frac{1}{ x+1000}$ D. $\frac{1}{2x}$ - $\frac{1}{2x+2000}$

E. $\frac{1}{2x}$ + $\frac{1}{2x+2000}$

解：都乘2* $\frac{1}{2}$

无理数性质及其有理化

有理数可以表示为形如 $\frac{b}{a}$ （其中a，b都是整数）的两个整数比的形式

无理数不能写作两个整数比形式的数，若将它写成小数形式小数之后的数字有无限多个，并且不会循环（无限不循环小数）

$\sqrt{2}$ $\approx$ 1.414 $\sqrt{3}$ $\approx$ 1.732 $\sqrt{5}$ $\approx$ 2.236 e $\approx$ 2.718 $\pi$ $\approx$ 3.142

实数={有理数+无理数}

有理数{正有理数=正整数+正分数、负有理数=负整数+负分数}

无理数{无限不循环小数=正无理数+负无理数}

对任意实数，不超过实数X的最大整数为x的整数部分，记为【x】，求取实数的整数部分称为取整。

令{x}=x-【x】，称之为实数x的小数部分，由定义可知，【x】 $\leq$ x，

x-【x】={x} $\geq$ 0

【3】=3、{3}=0；【-3】=-3、{-3}=0；【0】=0、{0}=0；

【0.3】=0、{0.3}=0.3；【-0.3】=-1、{-0.3}=0.7；【2.17】=2、{2.17}=0.17

二次根式形如 $\sqrt{x}$ （x $\geq$ 0）的式子

x叫做被开方数，可以是一个数字，也可以是一个代数式

双重非负性：x $\geq$ 0， $\sqrt{x}$ $\geq$ 0，当x<0时，二次根式无意义

$\sqrt{0}$ =0；以形式界定： $\sqrt{9}$ 也是二次根式；

二次根式乘法法则： $\sqrt{a}$ * $\sqrt{b}$ = $\sqrt{ab}$ （a $\geq$ 0，b $\geq$ 0）

二次根式的除法法则： $\frac{ \sqrt{b} }{\sqrt{a} }$ = $\sqrt{\frac{b}{a} }$ （a $\geq$ 0，b $\geq$ 0）

若两个实数相等，那么它们的有理部分和无理部分都相等；

实数2+a $\sqrt{5}$ 与实数b+3 $\sqrt{5}$ 相等，a=3，b=2

无理数/无理式的有理化

若含有二次根式的非零数字或算式相乘，乘积中不含二次根式，则它们互为有理化因式。（结合平方差公式）

【标志词汇】分数的分母中带有根号（含有2次根式），要求化简/求值===上下同乘以分母的有理化因式，即分母有理化。

$\frac{1}{1+\sqrt{2} }$ = $\frac{1*（1-\sqrt{2} ）}{（1+\sqrt{2} ）（1-\sqrt{2} ）}$ = $\frac{1-\sqrt{2} }{1-2}$ = $\sqrt{2}$ -1

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3} }$ = $\frac{2*（\sqrt{5}+\sqrt{3} ）}{（\sqrt{5}-\sqrt{3}）（\sqrt{5}+\sqrt{3}） }$ = $\frac{2*（\sqrt{5}+\sqrt{3} ）}{5-3}$

= $\sqrt{5}$ + $\sqrt{3}$

【标志词汇】分数的分子中有根号（含有2次根式），要求比较大小 $\implies$ 上下同乘分子的有理化因式，即分子有理化。

比较 $\sqrt{7}$ - $\sqrt{6}$ 与 $\sqrt{6}$ - $\sqrt{5}$ 大小

$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6} }{1}$ = $\frac{（\sqrt{7}-\sqrt{6} ）（\sqrt{7}+\sqrt{6} ）}{1*（\sqrt{7} +\sqrt{6 } ）}$ = $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6} }$

$\frac{\sqrt{6} -\sqrt{5} }{1}$ = $\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{5} ）（\sqrt{6} +\sqrt{5} ）}{1*（\sqrt{6}+\sqrt{5} ）}$ = $\frac{1}{\sqrt{6} +\sqrt{ 5 } }$

对比分数，分母越大，分数值反而越小。

例题1：设 $\frac{\sqrt{ 5}+1 }{\sqrt{5}-1 }$ 的整数部分为a，小数部分为b，则ab- $\sqrt{5}$ =（）

A.3 B.2 C.-1 D.-2 E.0

解： $\frac{\sqrt{ 5}+ 1}{\sqrt{5}-1 }$ = $\frac{（\sqrt{5} +1）^2 }{（\sqrt{5} +1）（\sqrt{5}-1） }$ = $\frac{\sqrt{5}+3 }{2 }$

2= $\sqrt{4}$ < $\sqrt{5}$ < $\sqrt{9}$ =3

$\frac{2+3}{2 }$ < $\frac{\sqrt{5}+3 }{2}$ < $\frac{3+3}{2 }$ ====2.5< $\frac{\sqrt{5}+3 }{2 }$ <3

所以由此得出这个根式的整数部分是a=2，b=这个式子 $\frac{\sqrt{5} +3 }{ 2}$ -2= $\frac{（\sqrt{5}-1 ）}{ 2}$

ab- $\sqrt{5}$ =2* $\frac{\sqrt{5}-1}{ 2}$ - $\sqrt{5}$ =-1

例题2：若a= $\frac{1}{1+\sqrt{2} }$ + $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3} }$ +……+ $\frac{1}{\sqrt{ 2019}+\sqrt{2020} }$ ，b=1+ $\sqrt{2020}$

则ab=（）

A.2018 B.2019 C.2020 D.2018+ $\sqrt{2}$ E. $\frac{1}{\sqrt{ 2019 } }$

解：分母有理化

$\frac{1}{1+\sqrt{2} }$ = $\frac{1-\sqrt{2} }{（1+\sqrt{ 2} ）（1-\sqrt{2} ）}$ = $\sqrt{2}$ -1

$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3} }$ = $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3} }{（\sqrt{2} -\sqrt{3} ）（\sqrt{2}+\sqrt{3} ）}$ = $\sqrt{3}$ - $\sqrt{2}$

由此类推可以得出：

$\frac{1}{\sqrt{2018}+\sqrt{2019} }$ = $\sqrt{2019}$ - $\sqrt{2018}$

$\frac{1}{\sqrt{2019}+ \sqrt{2020} }$ = $\sqrt{2020}$ - $\sqrt{2019}$

a由此可以得出a=-1+ $\sqrt{2020}$ ，b=1+ $\sqrt{2020}$ ，ab=完全平方公式=2020-1=2019

各个数集之间的关系

例题：下面几个论述不一定正确的是（）

1.两个无理数的和是无理数；（不一定，互为相反数，和是有理数）

2.两个无理数的积是无理数；（不一定，两个无理数互为有理化因式，积为有理数）

3.一个有理数与一个无理数的和是无理数；（是的）

4.一个有理数和一个无理数的积是无理数；（0与任何实数的乘积都是0）

5.任何一个无理数都能用实数轴上的点表示；（是的）

6.实数与数轴上的点一一对应；（是的）

考点梳理及标志词汇总结

整除：能被几整除就写几k；分数形式的数为整数；必有因数【标志词汇】

带余除法：a=bk+r【标志词汇】

最大公因数与最小公倍数：求取（正向和逆向）关系ab=【a，b】*（a，b）

质数与合数：【标志词汇】质数：穷举、因数分解、结合奇偶性

奇数与偶数：结合奇偶四则运算判断奇偶性；结合质数与合数；整数方程中未知量求取；

分数/小数的运算技巧：分数/小数互化，裂项相消

实数：

【标志词汇】带有根号的分数：分子/分母有理化

数集之间的关系

【标志词汇】完全平方数，

纯数字的完全平方数====穷举法

带有未知字母的表达式为完全平方式===配方凑出完全平方式

【2019年19】（条件充分性判断）能确定小明年龄（ C ）

（1）小明年龄是完全平方数（2）20年后小明年龄是完全平方数

一个自然数平方后所得到的数就是完全平方数。

整数、有理数、实数笔记4（分数/小数的计算技巧）