今天，我们直接进入正题，如果给一个三角形，怎么作出与它面积相等的正方形？
有的小伙伴就很吃惊，这还不简单吗？
求出三角形的面积S△，再求得S△的算术平方根，不就是正方形的边长了吗？
可问题是：如果三角形的性质是任意的，三边长度未知，无法通过测量的方法来求得面积，而且作图只能用尺规呢？
其实，这类问题我们借助勾股定理及相似里的射影定理就可以圆满解决。
基础概念.1
勾股定理
直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
基础概念.2
射影定理
基本结论如下：（我们今天用的是第一个结论），该结论的证明可以通过相似三角形或三角函数或勾股定理求得，这里不再赘述。
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现在，我们开始进行操作，LET'S GO……
STEP.1
第一步：一分为二。
作三角形内部的一条高，得到两个直角三角形。
STEP.2
直角三角形边正方形，先以其中一直角边绕直角顶点旋转90°，使得两直角边互为反向延长线。
STEP.3
以两直角边合二为一的线段为直径在三角形对侧作半圆，并延长第二步旋转的直角边，交半圆弧于一点。
根据直径所对的圆周角为90°及摄影定理第一个结论，我们可以得到：
STEP.4
以h为边作出正方形，该正方形面积即为S2.
STEP.5
同理，作出面积等于S1的正方形，如下：
STEP.6
勾股定理整合
以两正方形边为直角边作直角三角形，则以该直角三角形的斜边为边长的正方形面积为S1+S2。
这样，我们就完成了操作。
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勾股数发展
毕达哥拉斯学派明确地给出了勾股数的一组公式：
一组勾股数的正整数a=2n+1,b=2n^2+2n,c=2n^2+2n+1,其特点是斜边与其中一股的差为1.
后来,另一个古希腊学者柏拉图（Plato,约前427－前347）也给了另一组公式：a=2n,b=n^2-1,c=n^2+1,此时斜边与其中一股之差为2.
被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图（Diophantus,约330－246）也在研究二次不定方程的时候,对勾股数作了一番探讨.他发现不论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子,都没能给出全部勾股数组,于是他找到了一个新方法：
全部解的公式是：a=2mn,y=m^2-n^2,z=m^2+n^2其中m,n（m>n）是互质且一奇一偶的任意正整数.
丢番图究竟是如何得到这组式子的,人们今天已经无从知晓.重要的是,这组式子包含了全部的勾股数组!
近代，引入复数后，借助复平面坐标系，也可以很快速找到所有的勾股数，可参考下列视频。
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