数学的数字，类似于文字，本质是对时间和空间的机械划分。数学家所操纵的所思考、书写的数字，包括图形、公式、符号、图表，都是划分时间和空间的标准来予以接受。数学的起源，正是原始人类用限定和标准的名称来捕捉和框定感官感受的时间和空间，正是数学的起源，人类的理解力可以征服世界了。数学从诞生之日起，就反映了人的灵魂和意志。加和减，是一级运算；乘和除，是二级运算；乘方、开方和对数，是三级运算。

人类运用加、减、乘、除、乘方、开方、对数七项运算工具，展开了对数字波澜壮阔的挖掘史，挖掘成果称之为数系。

一、正整数：上帝的创造

德国数学家克罗内克曾说过：上帝创造了正整数，所有其余的数都是人造的。

这里面包含的就是大家熟知的1，2，3，...为什么说是上帝创造的？事实上，正整数是一种客观存在，不同的文明只是提出了正整数不同的写法而已。但无论是哪种写法，正整数的性质是不会变化的。比如一堆苹果6个，不管用何种表示，两个两个分总是能分完不剩。以正整数为基础，可以从逻辑上来引入所有其它的数。

二、十进制自然数：加法和乘法工具的挖掘

有了加法和乘法之后，人们发现：任意两个数相加或相乘，其得数必大于这两个数(我们的祖先在这个时候还没有发明负数)，这样就能不断创造一个更大的数，于是一个伟大的结论出现了：数是无穷的。而这样的数正是自然数。那么，怎样才能用有限的数字符号来代表所有的自然数呢？答案是需要进制。

当前全世界通用的十进制数字是古印度人发明的。从公元前2500到公元前1750年的哈拉帕文化时期开始，古印度人就采用十进制计数法。他们先是发明了1—9这九个数字符号和定位计数法，后又提出了零的理论和作为演算基点的十进制。有了十进制，所需要的计数符号仅为0，1，2，3……9。中亚许多民族都逐渐采用了这个简便的计数方法。后来，阿拉伯人征服印度，对印度的10个数字加以修改，传到了欧洲，印度数字及其计算方式就逐渐演变成为现今世界通用的阿拉伯计数法了。

三、整数：减法工具挖掘负数

小数减大数，产生了负数。人类在自然数上停留了很长时间，因为它对于加法是够用的，即使后来人类发明了乘法，自然数系也依然够用。换句话说，所有自然数通过加法和(或)乘法运算所得到的数依然是自然数。但后来人类不可避免地发明了减法。当然，自然数对于部分减法运算也是够用的，譬如：6-4=2，15-3=12，但若遇到像2-3，3-5这样的情况就束手无策了。于是负数就应运而生了，从此数系从自然数扩充到了整数。

在欧洲一些数学家无法撩开负数的面纱，但也有一些思想开放的数学家逐渐读懂了负数的内涵。意大利数学家邦别利在《代数学》（1572年）一书中正式给出了负数的明确定义。荷兰数学家吉拉尔在《代数新发现》（1629年）中第一次提出了代数的基本定理，最早指出一元n次方程有n个根，他是欧洲最早承认方程负根的数学家，同时第一个提出用负号“－”表示负数。从此，负数符号“－”逐渐得到人们的公认，一直沿用至今。直到17世纪，笛卡儿创立了坐标系，负数获得了几何解释和实际意义，才逐渐得到了公认。

四、有理数：除法工具挖掘分数

加法的逆运算减法被发明之后，乘法的逆运算除法也如期而至，当然也遇到了与减法相同的问题：类似于5÷2的计算结果是多少，显然，它位于2和3之间，不是一个整数，于是人们发明了分数(有限小数和无限循环小数)去表示这样的运算结果。从此，数系由整数扩充到了有理数。

五、实数：乘方和开方工具挖掘无理数，有理数和无理数合称实数。

从自然数系扩充到有理数系似乎是必然的结果，貌似所有的数都被有理数系包涵了，古希腊的数学家们尤其这样认为。古希腊时期的毕达哥拉斯(约公元前580年-公元前500年）将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“万物皆为数”的观点：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。而他所说的数，都可表示为整数或整数之比，即有理数。但不久之后，其“万物皆为数”的观点受到了致命的冲击，而带来这冲击的这是毕达哥拉斯的门徒--希帕索斯。

希帕索斯在研究勾股定理时发现，如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度（平方数字是2的数字）就不能归结为整数或整数之比。

更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希帕索斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，后来被命名为无理数。希帕索斯经洞察力获得的这一成果，本应被毕达哥拉斯所接受，然而，毕达哥拉斯始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑推理推翻希帕索斯的论证。然而更使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死。这就是人类数学的第一次危机。对无理数的畏惧，将希腊人研究数学的视野紧紧局限于几何中。

无理数的发现确实带有一定的戏剧性，并且人类为此付出了生命的代价，但从运算的角度来说，无理数的发现也会是一个必然。就像加法有其简便运算乘法，乘法也有它的简便运算，那就是乘方，譬如：4+4+4+4=4×4=4^2。就像加法有逆运算减法，乘法有逆运算除法，乘方也有其逆运算——开方。人们发现每个有理数通过乘方（正整数次相乘）都能得到另一个有理数，然而开方却不能，譬如前面讲到的，它是一个无限不循环小数，无法用整数或整数之比来表示，不是有理数的。人们把无法用整数或整数之比来表示的无限不循环小数称为无理数。数系因此再次得到扩充，引入无理数，扩充到实数系。

有理数的命名来源也颇有趣味。有理数在古希腊的名称意为“成比例的数”，英文翻译为“rational number”,到了日本就翻译成了“有理数”，因为“rational”更通俗的翻译为“理性的”，国人那时便以讹传讹，直接照搬了过来。但仔细想想，这样的翻译也独有韵味，当然，与有理数相对应的数被称作无理数也无可厚非了。

六、复数：解方程挖掘虚数，虚数和实数共同构成复数

虚数(Imaginary number)，直译过来就是“想象中的数”。在数学史上，有一段时间内，虚数不被人们所接受，被认为是荒谬的数字。直到公元16世纪，意大利数学家卡尔达诺发表了一般三次方程的求解公式，从此虚数开始萌芽而生，1637年，笛卡尔首先给出了“Imaginary number”这个命名，而命名为虚数的原因，正是因为在当时的观念里这是不存在的数。到了1777年，欧拉出现了，他在自己的论文中首次用“i”表示根号下负一。这里的“i”就被称作是“虚数单位”，i²=-1。

复数(Complex number)，指二元有序实数对(a,b) ，记为z=a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位。在复数a+bi中，a=Re(z)称为实部，b=Im(z)称为虚部。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。正如负数可以解释反向等特征，虚数可以描述一些实际问题中的振荡、周期性和旋转等特征。1830年，高斯详细论述了用直角坐标系复平面上的点来表示复数，使虚数有了立足之地，人们才真正承认了虚数。

到今天，复数（实数和虚数）已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一。