数学的数字，类似于文字，本质是对时间和空间的机械划分。数学家所操纵的所思考、书写的数字，包括图形、公式、符号、图表，都是划分时间和空间的标准来予以接受。

数学的起源，正是原始人类用限定和标准的名称来捕捉和框定感官感受的时间和空间，正是数学的起源，人类的理解力可以征服世界了。数学从诞生之日起，就反映了人的灵魂和意志。数学的风格依赖于它所扎根的文化，依赖于那构想它的特定人类。

数字本身并不存在，也不可能存在。所存在的乃是多个数字世界，如同多种文化的存在一样。如印度数学思想、阿拉伯数学思想、古典数学思想、西方数学思想，都是各自特定的世界感的表现。

根本就不存在单一的数学，而只存在不同的数学。我们所谓的“数学史”，意指的仅仅是某个单一的、不变的理想的逐步实现，事实上，在数学史的虚饰的表面底下，是一大堆自足的、彼此独立的发展的复合体，是一个不断重复的过程，在那里，总有新的形式世界的诞生，也有对旧的陌生的形式世界的挪用、转变和剥离，总之，这是一个发生于每个特定时期、并要经历从开花到成熟、从枯萎直至死亡的过程的纯粹有机的故事。古典数学几乎是从无中萌生出来，代表是毕达哥拉斯；而西方心灵的数学，已经经由学习外在地获取了古典数学，但是通过对后者明显的改变和完善成就自身的科学，事实上还得摧毁那本质上与之疏离的欧几里得体系（古典数学的巅峰），代表人物是笛卡尔。

一、巴比伦文化的数学

古巴比伦存在于约公元前1894年－约公元前1595年，位于美索不达米亚平原两河流域。巴比伦人用特殊的名称和记号表示未知量，采用少数几个运算记号，解出二次方程，可以说是代数的开端。但他们只用语言说出该做的步骤，却没有说出那一步的理由。几乎可以肯定地说，他们的算术和代数步骤以及几何法则都是根据物理事实、边试边改以及从直观认识得出的结果。而关于证明的想法，逻辑结构的思想，以及问题的解在什么条件下存在这些方面的考虑，在巴比伦数学里都是找不到的。

二、埃及文化和中国文化的数学

古埃及存在于约公元前3200年-公元前300年，后续埃及的历史和数学就附属于希腊文明了。古中国存在约公元前2000年至公元1910年。古埃及文化和古中国的数学，有整数和分数的算术，包括进位制计数法，有初步的代数和几何上的一些经验公式。几乎没有成套的记号，几乎没有有意识的抽象思维，没有作出一般的方法论，没有证明甚至直观推理的想法。实际上没有想到需要任何理论科学。它只是一种工具，形式上是些无联系的简单法则，用于解决人们日常生活中所碰到的问题。他们肯定没有在数学上作出什么能改变或影响生活方式的大事。比较起来，埃及、巴比伦和古中国数学好比粗陋的木匠，而后面希腊、西方的数学则是建筑大师。

三、古典文化的数学

（一）新的数学概念：约公元前540年，毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯学派把数看做真实物质对象的终极组成部分，数不能离开感觉到的对象而独立存在，一切对象由整数组成，或者说到数乃至宇宙的要素时，他们所要说的意思就是字面上的意思，他们心目中的数就如同我们心目中的原子一样，开始纯凭借心智来考虑抽象问题。

（二）系统发展的顶峰：公元前450-前350年，柏拉图、阿基塔斯、欧多克索斯

柏拉图和他的后继者把数学概念看做抽象物，柏拉图说数同几何概念不含物质性，因而和具体事物不相同，数学概念不依赖于经验而自有其实在性，它们只能为人所发现，并非人所发明或塑造。柏拉图是第一个把严密推理法则加以系统化的人，大家认为他的门人按照逻辑次序整理了定理

阿基塔斯引入把曲线作为动点的轨迹，把曲面作为由曲线移动而产生的看法。还写了关于数学力学的书，设计过机器，研究过声学。

欧多克索斯是古希腊时代仅次于阿基米德的数学家。欧多克索斯关注于越来越多无理数的发现，引入连续变化的量的概念，量是不指定数值的。他做这项工作的目的是避免把无理数当做数。这项工作大大推动了几何学，同时也产生了灾难性后果，因为只有几何能处理不可公度比，把数学家都赶到了几何学家的队伍里了，此后两千年间几何学变成几乎是全部严密数学的基础。这实际上把以前希腊数学的重点颠倒过来。毕达哥拉斯肯定是重视数，阿吉斯塔也曾说过只有算术能提供满意的证明，然而，古希腊数学家虽然把几何搞得能处理无理数，却因此放弃了真正的代数和无理数

（三）内在完成与总结：公元前300-250年，欧几里得、阿波罗尼乌斯、阿基米德

古典时期学者们的数学工作的精华，幸运地在欧几里得和阿波罗尼乌斯两个人的著作中流传到今天。两人属于希腊历史的亚历山大时期。

欧几里得把欧多克索斯的许多定理收入他的《几何原本》。原本共含13章。第一篇先给出书中第一部分所用概念的23个定义。接着欧几里得就列出五个公设和五个公理，公理是适用于一切科学的真理，公设只应用于几何。从而推导出465个命题，形成严密的逻辑体系—几何学。

阿波罗尼乌斯对前人著作去粗存精和系统化工作后，出版《圆锥曲线》，含有非常独到的创见材料，写得巧妙灵活，组织很出色，可以看成古典希腊几何的登峰造极之作。

阿基米德的几何著作是希腊数学的顶峰。《论浮体》《论平板的平衡》《论杠杆》《论重心》《论球和圆柱》。阿基米德所关心的是要得出面积和体积的有用结果。

灵魂和意志：在思考比如正方形的边和对角线的关系时，希腊人必定会突然遇到一种完全不同的数，这种数对于古典心灵而言是全然陌生的，因此对它有一种恐惧，认为其存在本身的秘密一旦被揭开，将会导致灭顶之灾。有一则奇特而重要的晚期希腊传说，依据这一传说，第一个揭开无理数那深藏的奥秘的人必将死于非命，“因为那不可言传的、无形无态的秘密必将永远隐匿于人世。”希腊人的古典心灵已经感觉到了无理数的原则将会推翻整个数字体系井然有序的庄严排列，会推翻完整而自足的世界秩序，这些本身就是对神的一种不敬。这种思想的禁锢，把数学家都赶到了几何学家的队伍里，因为只有几何能处理不可公度比。这种思想禁锢，导致希腊城邦小国寡民的形态特点，阻止哪怕最成熟的希腊人扩展他们的微型城邦，阻止他们延伸小巷至远景深处，甚至使得希腊人不敢冒险沿海道走出地中海。这一思想禁锢的本质就是——与不可度量相对立的度量。

四、阿拉伯文化的数学

（一）新的数学概念：公元200年开始，代数概念的产生

公元前2世纪所完成的古典数学，随着古典时代的转换而消失，让位于阿拉伯数学。公元1世纪开始，中东地区出现了一次伟大运动。运动的中心是波斯巴比伦学派（以德萨、贡蒂萨泼拉等地），如研究空间中的和谐面束的特性的塞里努斯、介绍圆周划分法的西普席克乐、尤其还有丢番图，全部都是阿拉米人，他们的著作只是写于叙利亚的文献的一小部分。阿拉伯文化在古典文明的掩护下自奥古斯都时代便开始生根发芽，然后遍及自亚美尼亚至南阿拉伯、自亚历山德里亚到忒息丰的广大地区。

尼克马修斯撰写了《算术入门》，他说算术是其他各科之母。丢番图生活在大约公元250年，到他这里，数已不再是有形事物的度量和本质，他把代数学（未知量的科学）带入了古典框架表达。他在代数中采用了一套符号，不定方程的解法是他的一大贡献，但是由于他的时代不承认无理数、负数和复数，他就放弃了具有这种解的方程。

（二）系统发展的顶峰：公元800-900年，阿尔法拉比，阿维森纳

（三）内在完成与总结：公元前900-1000年，花拉子米、伊本库拉、安卡奇、阿尔比鲁尼

阿拉伯文化是缺乏批判精神的，尽管阿拉伯人对欧几里得著作曾写过评注，他们满足于所传给他们的数学的现状，就是说几何是研究演绎得，算术和代数则可以根据经验和直觉。阿拉伯人认识到几何相对于算术和代数而言具有不同的标准，但想不到什么方法给算术提供逻辑基础。

五、西方文化的数学

（一）新的数学概念：数作为关系。约公元1630年，天才的世纪。笛卡尔、帕斯卡尔、费马、牛顿、莱布尼茨。

自文艺复兴起，一项又一项重大创造接踵而至，早在1550年卡丹就引入的虚数和复数；1666年经由牛顿在二项式定理的重大发现而在理论上为其奠定了基础的无穷级数；莱布尼茨的微分几何和定积分；笛卡尔开启先河的作为一种新的数字单位的“集合”理论，还有像一般积分这样的新的运算方式，像函数向级数甚至其它函数的无穷级数的扩展。

笛卡尔坐标几何学，取代具体的线和面的感觉要素，代之以点的抽象的、空间的、非古典的要素，从此以后，点被视为是一组排列在一起的纯粹数字。源自古典文本和阿拉伯传统的量的观念和可感知的向度观念被摧毁殆尽，取而代之的是空间位置中可变的关系值。笛卡尔时代开始，所谓新几何学，是由综合和分析两部分组成，综合的工作针对点的位置进行的，分析工作通过空间中点的位置来定义数字。

在此数字王国的所有部分中，圆周率π和纳皮尔底数e一样，产生了各种各样的关系，而不复有传统的所谓几何、三角、代数等的划分，这些关系本质上既非算术的、亦非几何的，所以不再有人梦想实际画出圆弧或以图形说明乘方。

坐标几何把数学造成一个双面的工具，几何概念可用代数表示，几何目标可由代数达到。反过来，给代数语言以几何的解释，可以直观地掌握那些语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论。拉格朗日曾把这些优点写进《数学概要》：只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。17世纪以来数学的巨大发展，很大程度归功于坐标几何。

与此同时，微积分和无穷级数进入了数学。牛顿和莱布尼茨都认为微积分是代数的扩展；它是无穷的代数，或者是具有无穷多个项的代数，例如无穷级数。拉格朗日说微积分及其以后的发展只是初等代数的一个推广，因为代数和解析是同义词，所以微积分也叫解析。

（二）系统发展的顶峰：公元1750-1800年，发明的世纪。欧拉、格拉朗日、拉普拉斯

虽然18世纪也是多产的，但是18世纪的人并没有引进像微积分那样新颖、基本的概念，但他们施展了高超的技巧，发掘并增进了微积分的威力，从而产生了现在比较重要的分支：无穷级数、常微分方程和偏微分方程、微分几何和变分法。把微积分扩展到这几个领域的过程中，他们建立了现在数学中最广阔的领域——分析。

欧拉和拉格朗日认识到分析方法具有更大有效性之后，就慎重地逐渐把几何论证换成分析论证。欧拉的许多教科书都说明怎样使用分析。拉普拉斯也强调分析的力量，在他的《宇宙系浅说》中：代数分析把我们的注意力集中到抽象组合中，很快使我们忘记主要目标，只是最后才回到原来的目标。但是，当一个人沉湎于分析的运算中时，他就被这个方法的普遍性和他的不可估量的优越性所吸引，这个优越性体现在它把力学推理转变成几何往往达不到的一些结果。分析是如此多产，只需把一些特殊的真理译成这个普遍的语言，就会看到从他们本身的表达中又出现众多新的出乎意料的真理，没有另外一种语言是如此优美，而这些优美之处都是从一长串互相连接并全部出自于同一个基本概念的表达式中产生出来的。因此这个世纪的数学家被他的分析的优越性折服以后，马上致力于扩大他的领域。

1783年，欧拉去世，这一年拉普拉斯34岁，傅里叶15岁，高斯只有6岁。

（三）内在完成与总结：公元1800年以后，高斯、柯西、黎曼

19世纪最独特的创造是单复变函数的理论，这个科学常被称为函数论。这个新的数学分支统治了19世纪。函数论，这一最丰饶的数学分支，曾被称为这个世纪的数学享受，它被称为抽象科学中最和谐的理论之一。   

高斯从1816年起就在大地测量和地图绘制方面做了非常大量的工作，他亲身参加实际的物理测量，在这方面他发表了许多文章，激起了他对微分几何学的兴趣，并导致1827年他的决定性文章《关于曲面的一般研究》。然而比他这篇关于三维空间中曲面的微分几何的决定性论述所做出的的贡献更为重要的是，高斯提出了一个完全新的概念，即一张曲面本身就是一个空间。这个概念后为黎曼所推广，从而在非欧几何开辟新的远景。

高斯在1799年就已表示了对欧式几何真理性的怀疑，而且在1817年他就认定真理只存在于算术中。黎曼的目的之一要证明，欧几里得的独特的公理与其说是人们历来相信的那样自明的真理，还不如说是经验性的。他采用了解析的途径，因为在几何证明中，由于我们的感觉，我们可能错误的假定一些不是显然可以承认的事实。这样黎曼的思想是：依靠分析我们可以从关于空间无疑是先验的东西出发，导出必然的结论。于是就会知道空间的任何其他的性质都是经验的。高斯自己研究了完全相同的问题，但是仅仅发表了这个研究的曲面的部分。黎曼对于什么是先验的探讨导致他研究空间的局部性质，换句话说，就是采用微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯的非欧几何中，把空间作为一个整体进行考虑是相对的。

柯西在他的1821年著作的导言中说的非常明白，他企图给分析以严密性。这种工作把微积分及其推广从对几何概念、运动和直觉了解的完全依赖中解放出来。

灵魂和意志：古典数学中，眼睛是才智的主人；浮士德式的数学中，才智是眼睛的主人。自黎曼和曲线空间理论以后，就必须把无边界性和无终止性区分开来。乘幂——实际上就是对数——脱离了原先与感觉上可认知的面积与体积的关系，并通过无理数和复数指数的运用而进入函数的领域，成为纯粹的一般关系之后。一旦空间要素不再残留视觉性的最后痕迹，而是被界定为由三个独立数构成一个群。数群，也可以成为一个点。由此而逻辑地获得的方程式，也可称之为一个面。至于n维度中所有点的集合，则可称之为一个n维度空间。正是西方心灵，才会尝试用这些形式捕捉陌生的东西。

此后，从对象征性的空间世界的这种伟大的直观出发，产生了西方数学最终的结论性的创造——在群论中把函数论加以扩展和精炼。此刻，伟大的数学家的时代已成过去，今后的工作，就是保存、润饰、修正和选择。不再是伟大的动力性创造。