GMM - MOG的前世今生

为什么混合高斯模型有效？

想象一下，只有一束光射向桌面，桌面上的光点是符合高斯分布的，所以要运用高斯模型。但是如果这束光一直变怎么办？这时候是不是要用适应性的高斯模型。但是在实际中，我们还要加一个条件，因为我们平常的图像是由多束光组成的，因此我们需要用混合高斯模型。

因为GMM对所有的像素点用EM算法导致计算量太大，因此用线性模型近似：
$w_{k,t} = (1-\alpha)w_{k,t-1}+\alpha (M_{k,t})$
在文献3中也有对其最大似然估计（MLE）的证明

只要在每个像素点位2.5倍的标准方差之内，就认为他符合分布。这样做的好处是不同的像素点，拥有不同的阈值，如果把所有的像素点的阈值都设为一样的话，当一个物体进入阴影区域的时候就很可能会消失。

如果像素点不在这个阈值之内，就为这个像素匹配一个模型，并给他一个较低的权重。如果一个高斯模型都没有匹配上，说明当前的变化和之前的较大，因此删除probability最小的模型，并用当前的灰度值来替代。这种方法的好处就是新进来的像素点权重低，因此得到的probability较低。但是背景的会一直保持一个高权重，因此那些低权重的点很快就会被背景吸收掉。

那么模型的排列我们用 $w/\sigma$ ,其中w越高，其中权值越高，方差越低说明这个模型是背景的可能性越高。

之后我们应该选择前B个模型作为背景模型。
$B = min_b(\sum^b w_k>T)$
T如果越小说明设置的背景越单一，越大说明设置的背景的颜色越多。

以上就是文献1中提供的方法了

但是其中有两个缺陷：

1.如果背景是单一颜色的背景，需要 $log_{1-\alpha}(T)$ 帧去生成需要的背景。例如如果认为背景出现了至少60%的时间(500帧)， $\alpha =0.002$ ，带入公式，则需要255帧去包括背景，346帧去找主要的背景成分（详细看文献2），所以用时太长了！
2.似然因子太小，对均值和方差都很小adaptive很慢。