想不明白的问题:有这么一道题,一连咬文嚼字阅读了数遍,感觉云里雾里看花,又像个没嘴的茶壶,让你像个热锅上的蚂蚁,进退维谷,放弃心不甘,做吧题意又不清。题意搞不清,解题就是个奢望。顿生疑虑:这是一道怎样的创新题,怎么来的。不是凭空而来,从动手操作观察思考编拟出来的。
动手操作——最原始也是最“笨”最管用的方法做起。你可能着急死了,说了半天的困难,题目在哪儿,长得啥样,还不知道呢?那么先看问题。
题目:平面直角坐标系的网格,由很多正方形构成,每个小正方形边长为1,每个小正方形顶点叫整点。当一次函数y=nt+2t+2(t>0)的图像与两坐标轴围成的区域,有且只有四个整点,试求t的取值范围。
题目不算复杂,题意搞不清,在哪儿呢?缺图形,少模式。四个整点位置在哪儿?看不见摸不着的,凭空想象不容易。如果有个图形,那就像有个“拐杖”,可以“缘图而做”,不那么害怕了。然而实际上,动手作图操作理解题意,并不困难,为什么不愿意尝试下呢?
笔者分析原因有三:一是由于思维懒怠,迷信题图,缺少独立“画”题的本领,所以,一遇到缺少图形可资参考情形,感觉像蒙眼过马路的,干着急不做作;二是苦于怎么知道围成的整点正好四个,不多也不少,似乎这是审题作图的最大障碍:这正好符合题意的四个点位置在哪儿,我做不出来,因而不会,也就不敢尝试;三即便给出整点位置,再寻找解答过程的思路,从哪儿入口下手,写清弄明,也不简单,是棘手的。因此,弄不明白纠结于心。
其实,习惯于常规思考来解平常题的老师,要创造性解决开放题,焦虑无奈、愤恨的情绪状态和临场发挥关键能力缺失,是这次遭遇此题解不开的困难所在。因此解题突破口,必须动手操作观察思考,才能理清题意,化难为易,正确求解。满怀解题必会的信心,是我们做教育人拥有的解题态度。
操作验证这样的:
1.先找直线与两坐标轴的交点,不难发现,正数t越大,直线一定在(-2,0),(0,-2)的外侧移动。这就决定了直线变化趋向,理清了图像一条直线变化规律,从而找到围成区域内的四个整点位置,也找到了临界点坐标的位置。
2.再分析思考探究直线定点变化特点 进一步反思一次函数解析式,发现无论自变量值如何,图像总过点(-2,2),审题关键点找到了,题眼明晰了。所谓的整点位置清晰明朗起来。在点(-2,2)右下方区域的三个整点(-1,1)、(-2,1)与(-1,2)确定下来。第四个整点在(-2,2)的左边或者上边,即(-3,1),(-1,3)。直线再顺时针、逆时针旋转,只能在一定区域范围内变化。如果向左越过点(-4,1),向上越过(-1,4)时,整点数多于四个,不符合题意了。至此题意明确,解题不在话下。
3.整理解题思路,写出解答过程。直线图像的变化范围确定了,临界点找到了,(-4,1)与(-3,1)。将这两个点代入一次函数解析式里面,求得t的值在1/2与2之间(含2不含1)。这时当心,不要骄傲,高兴得手舞足蹈后,想想还有特殊情况,需要排除在外。在操作观察思考发现,当t=1时,有一种特例直线图像与两坐标轴围成区域只有三个整点不是四个,因此排除t=1情形。到此为止,难题得解。
解题反思:难题好不容易得解,即时梳理解题经验,极其必要。首先我们应该有这么个明晰认识,考题都是按照课标评价要求来命制,都是适合我们解答的,即便难度系数较大题目,经过深思熟虑也能解决出来。暂时解答不出来,要反思自身,是知识缺陷,还是思考方法偏颇;不要跟题目生气,抱怨出的啥怪题。
其次,动手操作,将题目“物”化为图形,再剖析理解清楚,看看题目说的啥,题眼在哪里。这样理解题意,迈好解题第一步。
最后,解题每一步都要有根有据,踏实地做好解题每一步。比如这题,确定直线绕着哪个定点旋转是关键,旋转变换的区域,通过操作与作图观察加以解决。最后代入求值,即可判定字母t的取值范围。
每道钻研解决的问题,做成个案总结,日久天长形成各具特色的解题风格的解题思想方法体系,是很有意义与价值。相反,做过完事,就像狗黑子掰棒子,掌握很少,结果较强解题能力与学习风格很难建立起来。