概率论常用公式整理

1. 运算定律
  • 交换律：
    A∪B = B∪A， A∩B=B∩A
  • 结合律：
    A∪(B∪C) = (A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
  • 分配律：
    A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)， A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
  • 对偶律：
    \overline{A∪B} = \overline{A}∩\overline{B}，\overline{A∩B} = \overline{A}∪\overline{B}
2. 基本公式

  • 加法公式：
    P(A \cup B) =P(A)+P(B)-P(AB)

  • 减法公式：
    P(A-B)=P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)，
    当B \subset A时：P(A-B)=P(A)-P(B)，P(A) \geqslant P(B)，P(A) \leqslant1
    当A= \Omega 时：P(\overline{B})=1-P(B)

  • 乘法公式：
    P(AB)=P(A)P(B|A)

  • 全概率公式：
    P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+···+P(B_n)P(A|B_n)=
    \sum _{i=1}^{n} P(B_i)P(A|B_i)

  • 贝叶斯公式：
    P(B _i|A)= \frac{P(B _i)P(A|B _i)}{\sum _{j=1}^{n} P(B _j)P(A|B _j)}
    P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}

3. 条件概率

P(B|A) =\frac{P(AB)}{P(A)} \geqslant 0，
P( \Omega|A) =\frac{P(A \Omega)}{P(A)} =\frac{P(A)}{P(A)}=1

4. 事件独立性

  • 两事件独立性：
    若P(AB)=P(A)P(B)，则事件A、B相互独立；
    若事件A、B相互独立，且P(A) > 0，则P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=P(B)
    若事件A、B相互独立，则A与\overline B、\overline A与B，\overline A 与\overline B相互独立，
    P(A \overline B)=P(A)P(\overline B).

  • 多事件独立性：
    若事件A、B、C两两独立，且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，
    则事件A、B、C相互独立。

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