法线变换矩阵

坐标空间A 变换到坐标空间B

顶点的变换矩阵 $M$

A空间一点的顶点的切线 $T_{a}$ ，法线 $N_{a}$

变换后B空间后该点的切线 $T_{b}$ ，法线 $N_{b}$

求法线的变换矩阵 $G$

由于切线是由顶点的差值计算而来，所以切线的变化可以直接用顶点的变换矩阵，即 $T_{b} = MT_{a}$

$T_{b} \bullet N_{b} = 0$ (切线与法线垂直)

$(MT_{a} )\bullet (GN_{a} ) = 0$

$(MTa)^T (GN_{a} ) = 0$ (这一步是向量转成矩阵表示由于要满足矩阵相乘前面的向量要表示成列向量)

$Ta^T M^TGN_{a} = 0$

由于 $T_{a} \bullet N_{a} = 0$ 所以 $Ta^TN_{a} = 0$ (也是向量转成矩阵表示)

所以 $M^TG$ = $I$ （I 是单位矩阵）

$G$ = $（M^T ）^ {-1}$ = $(M^{-1})^T$

顶点的切线和法线。（图片来自《Unity Shader入门精要》随书彩色插图）

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