机器学习基础·SVD分解和伪逆

摘要

SVD分解、伪逆

正文

SVD分解
矩阵可以分解为特征值和特征向量，有关特征分解的一些结论见线代一些有用基本概念及结论。但不是所有的矩阵都能够进行特征分解，如非方阵就不行。另外一种分解矩阵的方式称为奇异值分解，所有矩阵都能够进行奇异值分解。
奇异值分解将矩阵分解为3个部分： $A_{m\times n}=U_{m\times m}D_{m\times n}V_{n\times n}^T$ 其中， $U、V$ 是正交阵，称为左、右奇异向量，分别由 $AA^T$ 和 $A^TA$ 的特征向量构成； $D$ 是对角阵，对角线上的元素称为奇异值，是 $AA^T$ （ $A^TA$ ）的特征值的平方根。
伪逆
对于一些矩阵没有逆，可以使用伪逆替代。
伪逆定义为： $A^+=\lim_{a\rightarrow 0}(A^TA+\alpha I)^{-1}A^T$
实际计算时，使用： $A^+=VD^+U^T$ ， $U,D,V$ 是SVD分解时得到的， $D^+$ 是 $D$ 其非零元素取倒数后再转置得到的。
当矩阵 $A$ 的列数多于行数时， $x=A^+y$ 是方程可行解中 $\mid\mid x\mid\mid_2$ 最小的；当矩阵 $A$ 的列数小于行数时，通过伪逆得到的 $x$ 使得 $\mid\mid Ax-y \mid\mid_2$ 最小。

参考资料

[1] Goodfellow.深度学习[M].人民邮电出版社,2017.

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