1.5函数极限

（1）x→+∞，f(x)→a

∃a，∀ε>0，∃X>0，x>X时，|f(x)-a|<ε

$\lim_{x\to+∞} f(x)=a$

例： $\lim_{x\to+∞} (\frac{1}{2} )^x=0$

证明：∀ε>0(ε<1)，要使|f(x)-0|<ε成立

$(\frac{1}{2} )^x$ <ε ⇒ $2^x$ > $\frac{1}{ε}$ ⇒ xlg2>lg $\frac{1}{ε}$ ⇒ x> $\frac{\lg \frac{1}{ε} }{\lg2 }$ ，X= $\frac{\lg \frac{1}{ε} }{\lg2 }$

∴x>X时，|f(x)-a|<ε

（2）x→-∞，f(x)→a

∀ε>0，∃X>0，x<-X时，|f(x)-a|<ε

（3）x→∞，f(x)→a

∀ε>0，∃X>0，|x|>X时，|f(x)-a|<ε

（4）x→x₀，f(x)→a

f(x)在x₀的去心邻域内有定义(在x₀处无要求)

∀ε>0，∃δ>0，0<|x-x₀|<δ，|f(x)-a|<0

例： $\lim_{x\to1}(2x+1)=3$ x→1，2x→2，2x+1→3

$\lim_{x\to x_{0} } x=x_{0}$ $\lim_{x\to x_{0} } \cos x=\cos x_{0}$

（5）单侧极限：

左极限x→x₀⁻，0<x₀-x<δ， $\lim_{x\to x₀⁻}f(x)=a$

右极限x→x₀⁺，0<x-x₀<δ， $\lim_{x\to x₀⁺}f(x)=a$

$\lim_{x\to x₀} f(x)=a ⇔ \lim_{x\to x₀⁺}f(x)=\lim_{x\to x₀⁻} f(x)=a$

①左(右)极限不存在，x→x₀极限不存在

②左右极限存在却不相等，x→x₀极限不存在

例： $f(x)=\begin{cases}x & x≤1 \\2x+1 & x>1 \\\end{cases}$

$\lim_{x\to1⁻} f(x)=1$ ， $\lim_{x\to1⁺} f(x)=3$

∴极限不存在

函数极限的性质：

① $\lim_{} f(x)$ 存在，是唯一的

② $\lim_{} f(x)$ 存在，存在x₀的去心邻域，f(x)有界（局部有界性）

③ $\lim_{} f(x)=a$ ，a>0，存在x₀的去心邻域，f(x)>0

④ $\lim_{x\to x₀}f(x)=a\iff x→x_{0} ,任意\left\{ x_{n} \right\} ,\lim_{n\to∞} \left\{ x_{n} \right\}=x_{0}$