泰勒展开

标准公式

f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots \cdot \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)

实用公式

\begin{align} &e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+o\left(x^{n}\right)\\ &\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+o\left(x^{2 n+1}\right)\\ &\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x 4}{4 !}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+o( x^{2 n})\\ &\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+o\left(x^{n}\right)\\ &(1+x)^{a}=1+a x+\frac{a(a-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{a(a-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+o\left(x^{n}\right)\\ &\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+o\left(x^{n}\right) \end{align}

泰勒展开求极限

  1. 先确定展开的阶数，再进行展开。
  2. 展开到分子分母首次不为零。
  3. 展开遵循从低原则，而且分子分母尽可能匹配。

泰勒中值定理

在[x,x_0]上存在\varepsilon，使得
f(x)=f\left(x_{0}\right)+f_{1}^{\prime}\left(x_{0}\right) \cdot\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots\\ +\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\varepsilon)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}

这是拉格朗日余项

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